Töröttvonalfüggvény

A matematikában töröttvonalfüggvénynek nevezünk $f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$ függvényeket, ha van olyan $a=x_{o}<x_{1}<...<x_{n}=b$ felosztás, hogy $f$ mindegyik $\left[x_{i-1},x_{i}\right]$ intervallumban lineáris, azaz $mx+c$ alakú.

Töröttvonalfüggvény közelítése

Bármely töröttvonalfüggvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal. Legyen ugyanis az $f$ töröttvonalfüggvény az $f$ töröttvonalfüggvény meredeksége az $\left[x_{i-1},x_{i}\right]$ intervallumban $m_{i}$, és tekintsük a $\Phi (x)={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}x\leq x_{i-1},\\(m_{i}-m_{i-1})\cdot (x-x_{i-1}),&{\mbox{ha }}x\geq x_{i-1}\end{cases}}$

függvényeket $(i=1,...,n)$, ahol $m_{0}=0$. Ekkor a $\Phi =\sum _{i=1}^{n}\Phi _{i}$ függvény olyan töröttvonalfüggvény, amelynek a meredeksége az $\left[x_{i-1},x_{i}\right]$ intervallumban $m_{i}$ minden $i=1,...n$-re. Ebből egyszerűen adódik, hogy $f=\Phi +f(a)$.

Most belátjuk, hogy mindegyik $\Phi _{i}$ függvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal az $\left[a,b\right]$ intervallumban. Legyen i rögzített, és vezessük be az $x_{i-1}=c$ és $m=(m_{i}-m_{i-1}/2$ jelölést. Ekkor $\Phi _{i}(X)=m\cdot (|x-c|+(x-c))$ minden $x$-re. Válasszunk egy olyan $r$ számot, amelyre $c-r<a<b<c+r$. Az előző példa szerint minden $\varepsilon >0$-hoz létezik olyan $p$ polinom, hogy $|p(x)-|x||<\varepsilon$ minden $x\in \left[-1,1\right]$-re. Ekkor a $q_{i}(x)=mr\cdot p\left({\frac {x-c}{r}}\right)+m\cdot (x-c)$ polinomra teljesül, hogy $|q_{i}(x)-\Phi _{i}(x)|<|m|r\cdot \varepsilon$ minden $x\in \left[c-r,c+r\right]$-re, tehát minden $x\in \left[a,b\right]$-re is. Így a $q=f(a)+\sum _{i=1}^{n}q_{i}$ polinom rendelkezik a tulajdonsággal, hogy $|q(x)-f(x)|<K\cdot \varepsilon$ minden $x\in \left[a,b\right]$-re, ahol $K$ konstans nem függ $\varepsilon$-tól.

Forrás

Laczkovich Miklós-T. Sós Vera: Analízis II. ISBN 978 963 19 6084 6