Üres függvény

Nem tévesztendő össze a következővel: Nullfüggvény.

A matematikai üres függvény fogalma alatt olyan függvényt értünk, melynek értelmezési tartománya az üres halmaz. Minden $A$ halmazhoz pontosan egy ilyen üres függvény létezik:

f_{A}:\emptyset \rightarrow A.

Az üres függvény grafikonja a $\emptyset \times A$ Descartes-szorzat részhalmaza. Mivel a szorzat üres, egyetlen részhalmaza maga az üres halmaz. Ez érvényes hozzárendelés, hiszen az $\emptyset$ értelmezési tartomány minden $x$ -ére létezik olyan egyedi $y$ az $A$ értékkészletben, hogy $x,y\in \emptyset \times A$ . Ez az állítás az üres igazságok mintapéldánya, hiszen nincsen $x$ az értelmezési tartományban.

Az $\emptyset \rightarrow \emptyset$ hozzárendelést megvalósító üres függvény létezése szükséges ahhoz, hogy a halmazok kategóriája (Set) kategória lehessen, mivel a kategória minden objektumának rendelkeznie kell identitásmorfizmussal, és az egyetlen üres függvény az $\emptyset$ objektum identitása. A kardinális aritmetikában azt jelenti, hogy minden $k$ kardinális számra $k 0 = 1$ ; ez különösen mély, ha a $k = 0$ -t tekintjük.

Jegyzetek szerkesztés

Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).