Prímideál

Egy prímideál az algebrában egy gyűrű olyan ideálja, ami számos tekintetben a prímszámok fogalmának felel meg.

Definíció

Egy kommutatív, egységelemes $R$ gyűrű ${\mathfrak {p}}\subsetneq R$ ideálja akkor prímideál, ha

$\forall x,y\in R:\,xy\in {\mathfrak {p}}\implies x\in {\mathfrak {p}}$ vagy $y\in {\mathfrak {p}}$.

A prímideálok halmazát a gyűrű spektrumának nevezzük és $\operatorname {Spec} R$-rel jelöljük. A spektrum a Zariski-topológiával ellátva topologikus térré tehető.

Példák

• A racionális egészek $\mathbb {Z}$ gyűrűjében a prímideálok $p\mathbb {Z}$ alakúak, ahol $p=0$ vagy prímszám.
• A $\mathbb {Z} [X]$ polinomgyűrűben a $2$ és $X$ által generált ideál prímideál, és pontosan azokból a polinomokból áll, amiknek konstans tagja páros szám.
• Alaptételes gyűrűben egy irreducibilis elem által generált ideál prímideál.

Tulajdonságok

• Egy ${\mathfrak {p}}\subsetneq R$ ideál akkor és csak akkor prímideál, ha $R/{\mathfrak {p}}$ nullosztómentes.
• Minden maximális ideál prím, de a megfordítás általában nem igaz.
• Krull tétele szerint tetszőleges $R$-ben létezik maximális ideál, következésképpen prímideál is.
• Egy ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ideál akkor és csak akkor prímideál, ha $R\setminus {\mathfrak {p}}$ multiplikatívan zárt halmaz. Ez a prímideálnál vett lokalizált fogalmához vezet; ezt $(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}R$ helyett rövidebben $R_{\mathfrak {p}}$-vel szokás jelölni.
• Prímideál gyűrűhomomorfizmusnál vett ősképe prímideál.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime ideal című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Primideal című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.