A teleszkopikus összegek a matematikában olyan összegeket takarnak, amelyekből némi átalakítás és egyszerűsítés után csak véges számú kifejezés összege marad. A név is ezt hívatott leírni: az egyszerűsítés előtti többtagú összegből egyszerűsítés után kevesebb tag marad, azaz hasonló dolog történik, mint egy teleszkóp összecsukásakor.
A módszer alkalmazásához általában némi algebrai átalakításra van szükség, amivel kialakítható a szükséges szerkezet (azaz, hogy az egyszerűsítés lehetséges legyen). Ez történhet például (összegek esetében) egy nevezőben lévő szorzat összegekre történő felbontásával (partial fraction decomposition, parciális törtekre bontás).
A módszer akkor alkalmazható, ha van egy sorozatunk, amelynek pl. az első n elemének összegét szeretnék meghatározni. Ekkor kell találnunk egy olyan sorozatot, amelyre igaz, hogy .
Ekkor felírható a következő:
A két oldalt összeadva végül eljutunk a keresett végeredményhez:
(Természetesen nem kell, hogy az egymásutáni tagok ejtsék ki egymást. Bármilyen olyan összegre való felbontása jó az sorozatnak, amely garantálja, hogy az összegzendő tagok számától független darabszámú tag marad.)
Első n pozitív egész szám m-dik hatványának összege[1]szerkesztés
Ezen módszerrel tetszőleges számra meghatározhatjuk a összeg zárt képletét.
A módszerben a teleszkopikus összeg a következőképpen jelenik meg:
felhasználva, hogy , felírható a következő:
A két oldal összeadva, az eredmény:
Azaz, ha ismerjük az m-nél kisebb hatványokra vonatkozó összegképleteket, akkor az m-dik hatványra vonatkozó összegképlet kifejezhető.
Néhány speciális esetben hasznos eredményre juthatunk, ha fordítva végezzük el a teleszkopikus felbontást. Azaz a teleszkopikus felbontás ismeretében próbáljuk meg megtalálni az eredeti sorozatot. Ehhez persze meg kell találnunk a megfelelő segédsorozatot.
Ezt a módszert például a (ahol n pozitív egész) kifejezés szorzattá alakításához használhatjuk. Ha segédsorozatnak a következőt választjuk:
,
akkor látható, hogy és , továbbá . Ezután úgy teszünk mintha az sorozat lenne a teleszkopikus felbontása a keresett sorozatnak, és felírhatjuk a következőt:
A technika szorzatok esetében is ugyanúgy használható, mint összegeknél. Szorzatoknál a számlálók és nevezők megfelelő formára hozása szükséges, hogy az egyszerűsítés lehetséges legyen.