Harmonikus szám

A matematikában az n-edik harmonikus szám az első n pozitív egész szám reciprokának az összege:

Ez egyébként egyenlő ezen számok harmonikus közepe reciprokának az n-szeresével.

Harmonikus szám , (vörös vonal) és az aszimptotikus korlátja (kék vonal)

A harmonikus számokat már az ókorban is tanulmányozták, és a számelméletben fontos szerepet töltenek be. A harmonikus sor részletösszegei, és szorosan kapcsolódnak a Riemann-féle zéta-függvényhez. Amikor egy nagy volumenű mennyiség a Zipf-törvény szerinti eloszlást mutat, a legértékesebb tétel az n-edik harmonikus. Ez számos meglepő eredményhez vezet a hosszú farok- és a hálózatelméletben.

KépletekSzerkesztés

Az integrállal történő kifejezés Eulertől ered:

 

A fenti egyenlőség nyilvánvalóan következik az alábbi egyenlőségből:

 

Elegáns kombinatorikai kifejezés nyerhető  -re, felhasználva egy egyszerű transzformációt:  :

 

Hasonló kifejezés nyerhető a harmadik Retkes-azonosság felhasználásával:

 , és felhasználva a tényt:  .

 

Hn közel úgy nő, mint az n természetes logaritmusa. Ennek az oka, hogy az összeg közelíthető egy integrállal:

 

melynek értéke: ln(n).

Hn - : ln(n) sor monoton csökken a korlátja felé:

 

(ahol γ az Euler–Mascheroni-konstans: 0,5772156649...), és a megfelelő aszimptotikus kiterjesztés, amint  :

 

ahol   a Bernoulli-számok.

Generáló függvényekSzerkesztés

A harmonikus számok generáló függvénye:

 

ahol   a természetes logaritmus. Egy exponenciális generáló függvény:  

ahol   a teljes exponenciális integrál.

Megjegyezzük, hogy:

 

ahol   az inkomplett gamma-függvény.

AlkalmazásokSzerkesztés

A harmonikus számok számos alkalmazásban megtalálhatók, mint például a digamma-függvénynél:   Ezt a kifejezést gyakran használják harmonikus számok kiterjesztésénél nem egész n-re. A harmonikus számokat gyakran használják a γ meghatározásához, felhasználva az előző fejezetben bevezetett korlátot:

 

mely gyorsabban konvergál.

2002-ben Jeffrey Lagarias bebizonyította, hogy a Riemann-hipotézis egyenlő a következő állítással:

 

igaz minden n ≥ 1 egész számra; szigorú egyenlőtlenséggel, ha n > 1. Itt σ(n) az n osztó összege.

ÁltalánosításSzerkesztés

Az általánosított harmonikus szám:

 

n a végtelenbe tart, ha  . Más kifejezésben:

 

A speciális esetben, amikor  , csak egyszerűen harmonikus számnak hívják, és gyakran index nélkül jelölik, mint itt:

 

Ha a korlát  , az általánosított harmonikus szám a Riemann-féle zéta-függvényhez konvergál:

 

Az általánosított harmonikus számok generáló függvénye:

 

ahol   a polilogaritmus és |z| < 1. A fent megadott képletnél az m=1 egy speciális eset.

IrodalomSzerkesztés

  • Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn: A Stirling Encounter with Harmonic Numbers. (hely nélkül): Mathematics Magazine, 75 (2). 2002.  
  • Peter Paule and Carsten Schneider: Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities. (hely nélkül): Adv. in Appl. Math. 31 (2). 2003. 359–378. o.  
  • Zoltán Retkes: An Extension of the Hermite–Hadamard Inequality. (hely nélkül): Acta Sci. Math. (Szeged). 2008. 95–106. o.  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés