Polilogaritmus

A polilogaritmus-függvény a komplex függvények egyike, nevezik Jonquière-féle függvénynek is. Jelölése: Li_s(z).

Definíciói

Hatványsorral

Definíciója végtelen hatványsor alakjával:

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots \,.$

• A fenti definíció minden komplex s-re érvényes, valamint minden z argumentumra, ahol |z| < 1; kiterjeszthető |z| ≥ 1 értékekre is az analitikus folytatás módszerével.
• Csak s speciális értékeinél redukálódik a polilogaritmus elemi függvénnyé, mint például logaritmusfüggvénnyé.

Ha s=1, akkor a természetes logaritmus esete áll fenn, Li₁(z) = −ln(1−z), s=2 esete a dilogaritmus, más néven Spence-függvény, az s=3 esetét trilogaritmusnak hívják.

Integrálással

A polilogaritmus elnevezés onnan származik, hogy úgy is lehet definiálni, mint többszörösen végrehajtott integrálokat:

$\operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int \limits _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t\,;$

így a dilogaritmus a logaritmus integrálja, és így tovább.

Ha s egy nempozitív egész szám, akkor a polilogaritmus racionális függvény.

Alkalmazások

A polilogaritmus előfordul zárt formában a Fermi-Dirac-eloszlás (lásd: Fermi–Dirac-statisztikánál) és a Bose-Einstein-eloszlásnál is, melyeket úgy is hívnak, mint Fermi–Dirac-integrál vagy Bose–Einstein-integrál.

A polilogaritmus nem összetévesztendő a polilogaritmikus függvényekkel vagy az Euler-féle logaritmikus integrállal.

Speciális esetek

polilogaritmusok

Speciális esetekben a polilogaritmus kifejezhető más függvényekkel. Ha s egész, akkor a z•∂/∂z ismételt alkalmazásával a Li₁(z)-re a következő összefüggések kaphatók:

$\operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)$

$\operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}$

$\operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}$

$\operatorname {Li} _{-2}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}}$

$\operatorname {Li} _{-3}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}$

$\operatorname {Li} _{-4}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}\,.$

A polilogaritmus redukálódik a z polinomjainak arányára. Az általános eset a következő véges összeggel fejezhető ki:

$\operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z\,{\partial \over \partial z}\right)^{n}{z \over {1-z}}=$

$=\sum _{k=0}^{n}k!\,S(n\!+\!1,\,k\!+\!1)\left({z \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots )\,,$

ahol S(n,k) másodfajú Stirling-szám. Hasonló formula kapható negatív egészek esetében:

$\operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!\,S(n\!+\!1,\,k\!+\!1)\left({{-1} \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots )\,,$

és

$\operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \atop k}\right\rangle z^{n-k}\qquad (n=1,2,3,\ldots )\,,$

ahol $\scriptstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle$ Euler-féle szám.

Polilogaritus-függvények a komplex síkon

$\operatorname {Li} _{-3}(z)$	$\operatorname {Li} _{-2}(z)$	$\operatorname {Li} _{-1}(z)$	$\operatorname {Li} _{0}(z)$	$\operatorname {Li} _{1}(z)$	$\operatorname {Li} _{2}(z)$	$\operatorname {Li} _{3}(z)$

Irodalom

• Apostol, T.M: Polylogarithm. (hely nélkül): Mathematics of Computation 66 (218). 2010. ISBN 978-0521192255  
• Bailey, D.H.; Borwein, P.B.; Plouffe, S: On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. (hely nélkül): Cambridge University Press. 1997.  
• Vepstas, L: An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". (hely nélkül): Numerical Algorithms 47 (3). 2010. 211–252. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
• https://launchpad.net/anant
• Spence-függvény
• Logaritmus