Főmenü megnyitása

Szangamagrámi Mádhava

indiai matematikus

Szangamagrámi Mádhava (संगमग्राम के माधव , 1350–1425 körül, születési helye: Szangamagráma[3]) indiai matematikus. A Keralai csillagászati–matematikai iskola alapítója.

Szangamagrámi Mádhava
(സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ)
Született 1350[1]
Sangamagrama
Elhunyt 1425 (74-75 évesen)[2][1]
nem ismert
Állampolgársága indiai
Foglalkozása

A 14. században élt Szangamagrámi Mádhava jelentős felfedezéseket tett a matematikai analízis témakörében. Legismertebb eredménye a Mádhava–Gregory-sor a értékének meghatározására, továbbá a Mádhava–Newton-sor a szinusz és koszinusz értékek közelítésére. Munkái eredeti formájukban versekben íródtak, ezekből kevés maradt fenn. (Kényelmi szempontból a fogalmakat és jelöléseket a modern trigonometriai jelölésekkel írjuk le, a soroknál megadjuk a mai ismert nevüket).

Létrehozta a trigonometrikus és inverz trigonometrikus függvények végtelen sorokkal való kifejezését (mai megnevezéssel ezek Taylor-sorok). Felfedezte a binomiális tételt és előállította a () értékének meghatározására alkalmas Mádhava–Gregory-sort (más néven Leibniz-sor). Mindezeken felül meghatározta a közelítések számszerű eltérését az elméleti, pontos értékektől, ami a végtelen sor helyett véges számú összetevő használatából adódik.

A Mádhava által megadott módszerek gyakorlatilag megegyeznek azokkal a későbbi módszerekkel, amiket a matematikai analízisben Gottfried Wilhelm Leibniz, Sir Isaac Newton és Brook Taylor írt le Európában, mintegy 300 évvel Mádhava után.

Az arkusz tangens kiszámítása, a Mádhava–Gregory-sorSzerkesztés

Mádhava az arkusz tangens kiszámítására az alábbi végtelen sort írja le:

 

Ha  , a Leibniz-sor néven ismert végtelen sorozatot kapjuk, ami a   értékének egyik közelítését adja meg.

A pi értékének meghatározásaiSzerkesztés

Két konkrét szám hányadosakéntSzerkesztés

Egy versben megadja két szám hányadosaként a értékét, ami 11 tizedesjegyre pontos:

2 827 433 388 233 / 900 000 000 000 = 3,14159265359

A kör kerületeSzerkesztés

A értékét levezeti a kör kerülete hosszának meghatározásából is, amit geometriailag egy sokszöggel közelít.

Ismerteti a végtelen sorral való közelítés módszerét, amit Mádhava–Leibniz-módszerként ismerünk. Ebben a végtelen sor helyett a gyakorlatban használt véges számú tag után egy korrekciós tényezőt is megad, amivel a képlet a pontos érték felé jobban közelít.

 

ahol

  a kör kerülete
  a kör átmérője
  a számításba vett tagok száma
  a korrekciós tényező

Mádhava megjegyzi, hogy „ha az osztást sokszor végezzük el, az eredmény nagyon pontos lesz”. Az eltérés a pontos értéktől három tag esetén = 0,5%, négy tagnál = 0,2%, öt tagnál = 0,12%, tíznél  = 0,01%.

EgyébSzerkesztés

A pi értékének kiszámítására az alábbi képletet is alkalmazza:

 

A szinusz kiszámítása, a Mádhava–Newton-sorSzerkesztés

 

ahol

  a kiszámítandó szög percben megadva

További matematikai kutatásokSzerkesztés

A fentiek csupán illusztrációi annak, amikkel Mádhava és követői foglalkoztak. A Keralai iskola keretében készült egyes írásokból világosan látszik, hogy a korábbi munkákat gondosan elemezték, illetve azokhoz kritikus megjegyzéseket fűztek. Vagyis a korábbi kutatások eredményeit nem szolgai másolással adták tovább, hanem meg is vizsgálták azok tartalmát és helyességét.

Mádhava követői a „Keralai iskolában” halála után a 16. századig bővítették tovább műveit.[4][5]

Mádhava egyik tanítványa, Paramesvara különösen kitűnt abban, hogy újabb változatait dolgozta ki a végtelen sorok közelítési módszereinek és újabbakat talált ki. Paramesvara érdeklődött az iterációs algoritmusok konvergálási feltételeinek vizsgálata iránt. Főleg azokat vizsgálta, ahol a konvergálás lassan ment végbe, és ezeken próbált javítani. Módszere gyakorlatias volt, nem indokolta meg az eredményeit (abban a korszakban ez volt a szokás).

Kulturális hatásSzerkesztés

 
Kereskedelmi útvonal Délnyugat-India és a Római Birodalom között

Figyelembe véve az Arab-tenger partja mentén fekvő malabari partvidék akkori nemzetközi, kereskedelmi jellegét és az ebből fakadó multikulturális, kozmopolita lakosságot, feltételezhető, hogy Mádhava és követőinek munkája eljutott az iszlám világba és azon keresztül a később kialakuló európai matematikai szemléletre is hatással lehetett.[6][7] Feltételezések szerint a 16. század második felében, jezsuita misszionáriusok Kocsín tengeri kikötőváros körzetében is a tengeri navigáció egyes problémáit megoldó trigonometriai és naptári módszereket kerestek. Rábukkanhattak a Keralai iskola által kidolgozott, szinusz-értéket közelítő számítások módszerére, amik leírásait magukkal vihették Európába.

Nincs bizonyíték arra, hogy ezeknek a matematikai munkáknak a 16. vagy 17. században létezett volna latin nyelvű fordítása, vagy akár összefoglalója Európában, és az infinitezimális számítások kidolgozói sem említik, hogy indiai munkákra támaszkodtak volna. Ugyanakkor a matematikatörténetben széles körben elfogadott nézet (konkrét írásos bizonyíték nélkül is), hogy az indiai matematika hatással volt a matematika európai alakulására az arab tudósok munkáin keresztül, és ez az elképzelés a matematikai módszerek koncepcióinak nagyfokú hasonlóságán alapul.

MunkáiSzerkesztés

K.V. Sarma a következő műveket Mádhavának tulajdonítja:[8][9]

  1. Golavada
  2. Madhyamanayanaprakara
  3. Mahajyanayanaprakara
  4. Lagnaprakarana (लग्नप्रकरण)
  5. Venvaroha (वेण्वारोह)[10]
  6. Sphutacandrapti (स्फुटचन्द्राप्ति)
  7. Aganita-grahacara (अगणित-ग्रहचार)
  8. Chandravakyas (चन्द्रवाक्यानि)

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b MacTutor History of Mathematics archive. (Hozzáférés: 2017. augusztus 22.)
  2. Integrált katalógustár. (Hozzáférés: 2015. október 18.)
  3. Szangamagráma mai neve: Irinjalakuda (Kerala állam, Kocsín közelében), Szangamagramma formában is előfordul.
  4. O'Connor, J.J., E.F. Robertson: "Madhava of Sangamagramma", MacTutor History of Mathematics Archive. (2000)
  5. Pearce, Ian G.: "Madhava of Sangamagramma", MacTutor History of Mathematics Archive. (2002)
  6. Bressoud, David: Was calculus invented in India?, The College Mathematics Journal 33, 2002, 2–13.
  7. Katz, Victor J.: Ideas of calculus in Islam and India. Mathematics Magazine 68 (3), 1995, 163–174.
  8. Sarma, K.V.. Contributions to the study of Kerala school of Hindu astronomy and mathematics. Hoshiarpur: V V R I (1977) 
  9. David Edwin Pingree. Census of the exact sciences in Sanskrit,, A. Philadelphia: American Philosophical Society, 414–415. o. (1981) 
  10. K Chandra Hari (2003). „Computation of the true moon by Madhva of Sangamagrama”. Indian Journal of History of Science 38 (3), 231–253. o. (Hozzáférés ideje: 2010. január 27.)  

ForrásokSzerkesztés

További információkSzerkesztés

  • K. V. Sarma: A History of the Kerala School of Hindu Astronomy, Hoshiarpur, 1972
  • C. T. Rajagopal, M. S. Rangachari: On medieval Keralese mathematics, Arch. History Exact Sci., Band 35, 1986, p. 91-99
  • Radha Charan Gupta: The Madhava-Gregory series, Math. Education, Band 7, 1973, B67-B70.