Főmenü megnyitása

A polinomfaktorizációs tétel az algebra egy tétele amely a polinom-maradék tétel egy speciális esete.[1]

A faktorizációs tétel azt állítja, hogy az polinomnak osztója akkor és csak akkor ha (vagyis ha egy gyöke az polinomnak)[2]

Polinomok faktorizációjaSzerkesztés

A tételt leggyakrabban polinomok faktorizációjánál és algebrai egyenletek megoldásánál alkalmazzák (mivel ezek a problémák lényegében ekvivalensek).

A tételt úgy alakalmazzák, hogy az ismert gyököket "kiemelik", így egy alacsonyabb fokú polinomot kell felbontani a többi gyök megtalálása érdekében (amely vélhetőleg könnyebb). A módszer leírható így:[3]

  1. "Tippelgetéssel" keressük meg az   polinom egy gyökét,  -t. (A valóságban általában ez a feladat nagyon nehéz, de a tankönyvi példák gyakran, úgy készülnek, hogy ez a lépés könnyen megoldható legyen.)
  2. A fenti tételt felhasználva állapítsuk meg, hogy   osztója  -nek.
  3. Számítsuk ki a   polinomot például polinomosztással.
  4. Vegyük észre, hogy   bármely   megoldása, megoldása a   egyenletnek. Mivel a   polinom foka eggyel kissebb mint,  -é, így a hátralévő megoldások megtalálását a kisebb fokú   polinom gyökeinek megtalálására redukáltuk.

PéldaSzerkesztés

Faktorizáljuk a

 

polinomot. Ahhoz, hogy elinduljuk kezdésnek például próbálgatással megkeressük az első olyan x értéket amire a kifejezés helyettesítési értéke 0 (vagyis gyöke a polinomnak). Például ahhoz, hogy megtudjuk, hogy a fenti polinomnak   a faktora-e (vagyis hogy maradék nélküli osztója-e),  -et helyettesítünk a fenti polinomba:

 
 
 

Mivel a helyettesítési érték 18 és nem 0 ez azt jelenti, hogy   nem faktora az  -nek. Legyen a következő kísérletünk az   (vagyis helyettesítsünk  -et a polinomba):

 

Mivel az eredmény most  , így  , vagyis  , osztója a polinomnak,   pedig egy gyöke a   polinomnak.

A másik két gyököt megtalálhatjuk ha   elosztjuk polinomosztással  -gyel és az így kapott másodfokú polinom gyökeit direkt módon (a másodfokú egyenlet megoldóképletével) megkeressük.

 

így   és   osztói a   polinomnak.

ÁltalánosanSzerkesztés

Legyen   egy egyváltozós polinom úgy, hogy az együtthatói egy   kommutatív gyűrűből származnak és legyen  . Ekkor   akkor és csak akkor, ha   valamely   polinomra.

Ha adott egy   polinom és minden gyökét meg kívánjuk találni és adott   akkor   kiszámítható polinomosztással, majd   további gyökeit   faktorizációjával kaphatjuk meg.

ForrásokSzerkesztés

  1. Sullivan, Michael (1996), Algebra and Trigonometry, Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2.
  2. Sehgal, V K & Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India), p. 119, ISBN 978-81-317-2816-1.
  3. Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications, p. 142, ISBN 81-7008-629-9.