Szerkesztő:Ifj.Kuti.Imre/sandbox

Levezetés

Állítás:
A mechanikai munka egyenlő a testre ható eredő erő által megváltoztatott kinetikus energiaváltozás nagyságával.

Algebrával egy dimenziós esetre

A következő bizonyításban állandó nagyságú erőhatást feltételezünk, és továbbá azt hogy F erő az eredő erő. Newton második törvényéből tudjuk, hogy ha egy testet időben állandó nagyságú F erőhatás ér, akkor az állandó a gyorsulást eredményez.

$F=ma\ \Rightarrow \ a={\frac {F}{m}}$

(1)

Ha egy test állandó gyorsulásnak van kitéve, akkor a test sebességének változását a következő kinematikai egyenlet adja meg:

$v^{2}=v_{0}^{2}+2as\ \Rightarrow \ v^{2}=v_{0}^{2}+2{\frac {F}{m}}s$

(2)

Jelöljük a test kezdeti sebességét $v_{1}$, és az erő megszűnte után, a test új, megváltozott sebességét $v_{2}$ alsóindexekkel.

$v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2{\frac {F}{m}}s$

(3)

Hogy megkapjuk a megváltozott sebességet a test kezdeti sebességét $v_{1}^{2}$ és jobb oldalon izolálva az erőt, a baloldalra helyezzük ${\frac {m}{2}}$ -t. így a következő egyenlethez jutunk:

${\frac {m}{2}}v_{2}^{2}\ -\ {\frac {m}{2}}v_{1}^{2}=F\cdot s$

(4)

Megkaptuk tehát a bal oldalon a végállapotbeli és a kezdeti kinetikus energiákat, kivonás pedig egyenlő az F erő és az s távolság szorzatával ami nem más mint a mechanikai munka W a jobb oldalon. A kinetikus energiákat a megszokott alakra írva:

${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}\ -\ {\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=F\cdot s$

(5)

Ezt átírva kapjuk a munkát mint a végső és kezdő kinetikus energiák különbségét. Tehát a kinetikus energia változása egyenlő a mechanikai munkával.

$\Delta KE=KE_{2}-KE_{1}=W$

(6)

Két vagy több dimenziós eset

Ez az eset csak nem sokban különbözik az egydimenziós esettől, csak szemléltetésként szeretném megmutatni, miként általánosítható az egy dimenziós eset, kettő vagy akár több dimenzióra. Mivel két dimenzióval tárgyalunk, a vektorok két komponensel rendelkeznek. Két dimenzió esetén a kinetikus energia a következő módon határozható meg:

$KE={\frac {1}{2}}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})$

(1)

Keressük meg azt a formulát, ami megadja a kinetikus energia változásának ütemét. Ez pedig nem más mint:

${\frac {\Delta KE}{\Delta t}}={\frac {m}{2}}\left(2v_{x}{\frac {dv_{x}}{dt}}+2v_{y}{\frac {dv_{y}}{dt}}\right)$

(2)

Átalakítva a képletet a következő alakot kapjuk:

${\frac {\Delta KE}{\Delta t}}=\left(m{\frac {dv_{x}}{dt}}\right)v_{x}+\left(m{\frac {dv_{y}}{dt}}\right)v_{y}$

(3)

Mivel ${\frac {dv_{x}}{dt}}$ nem más mint a gyorsulás. A kinetikus energia változásának üteme tehát egyenlő az erő és a sebesség szorzatával, ami nem más mint a mechanikai teljesítmény.

${\frac {\Delta KE}{\Delta t}}=F_{x}v_{x}+F_{y}v_{y}$

(4)

Mivel $v$ sebesség nem más mint a pozíció idő szerinti első deriváltja azaz: $v_{x}={\frac {dx}{dt}}$ Megszorozva most mindkét oldalt az idővel, megkapjuk a megtett távolságot.

$\Delta KE=F_{x}dx+F_{y}dy$

(5)

Tehát a kinetikus energia változása egyenlő az eredő erő által végzett munkával

$\Delta KE=\Delta W$

(6)

---

A fenti levezetésben külön feltüntettem a sebességvektorok komponenseit mert úgy vélem így érthetőbb a levezetés. Ha két vektor x komponenseit megszorozzuk, és összeadjuk a vektorok y irányú komponenseinek szorzatával, az nem más mint a két vektor skaláris szorzata amit ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}$ vel szoktak jelölni.

$A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}={\vec {A}}\cdot {\vec {B}}$

Ezért a mechanikai munkát vektorjelölést használva gyakran egy integrál formájában fejezzük ki:

$\Delta W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}$

ahol ${\vec {r}}$ az elmozdulás vektora.