Szeszkvilineáris forma

Egy szeszkvilineáris forma a lineáris algebrában egy kétváltozós függvény, ami két vektorhoz hozzárendel egy skalárt, úgy, hogy az egyik változójában lineáris, a másikban szemilineáris. Az elnevezés a latin sesqui szóból származik, melynek jelentése másfél. Egy klasszikus példa a $f\colon \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ komplex standard skalárszorzat:

$f((v_{1},\ldots ,v_{n}),(w_{1},\ldots ,w_{n}))={\overline {v}}_{1}w_{1}+\ldots +{\overline {v}}_{n}w_{n}$

ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti.

A két argumentum származhat két különböző $V,W$ vektortérből, azonban ezeknek egy közös $K$ test fölöttinek kell lenniük. Egy $f\colon V\times W\to K$ szeszkvilineáris forma lineáris forma az egyik, és szemilineáris a másik argumentumban. Két konvenció él, melyek nem értenek egyet abban, hogy melyik argumentum a lineáris, és melyik a szemilineáris. A fizikában mindig az első argumentum szemilineáris.

Valós számok fölött a szeszkvilineáris forma egybeesik a bilineáris formával.

Definíció

Legyenek $V,W$ komplex vektorterek. Egy $S\colon V\times W\to \mathbb {C} ,\quad (v,w)\mapsto S(v,w)=\langle v,w\rangle$ leképezés szeszkvilineáris forma, ha szemilineáris az első argumentumában, és lineáris a másodikban, vagyis

• $\langle v_{1}+v_{2},w\rangle =\langle v_{1},w\rangle +\langle v_{2},w\rangle$
• $\langle \lambda v,w\rangle ={\overline {\lambda }}\;\langle v,w\rangle ;$

és

• $\langle v,w_{1}+w_{2}\rangle =\langle v,w_{1}\rangle +\langle v,w_{2}\rangle$
• $\langle v,\lambda w\rangle =\lambda \,\langle v,w\rangle .$

ahol $v,v_{1},v_{2}\in V$, $w,w_{1},w_{2}\in W$ és $\lambda \in \mathbb {C}$.

Néha ehelyett az első argumentumban írnak elő linearitást és a másikban szemilinearitást, ez a megkülönböztetés azonban csak formális jellegű.

Ez a definíció kiterjeszthető más testekre és modulusokra is, amennyiben az adott test vagy gyűrű bír egy kitüntetett $\lambda \mapsto {\overline {\lambda }}$ automorfizmussal vagy endomorfizmussal. Pozitív karakterisztikájú testekben ez a Frobenius-homomorfizmus.

A konstans nulla leképezés $S=0$ szeszkvilineáris forma. Szeszkvilineáris formák pontonkénti összege és pontonkénti skalárszorosa szintén szeszkvilineáris forma. Így a szeszkvilineáris formák komplex vektorteret alkotnak.

Hermitikus szeszkvilineáris forma

Egy $S\colon V\times V\to \mathbb {C}$ szeszkvilineáris forma hermitikus, ha

$S(v,w)={\overline {S(w,v)}}$

Ez a definíció analóg a szimmetrikus bilineáris formához. Az elnevezés Charles Hermite nevét őrzi.

Példák

Egy komplex vektortérben egy bázis szerinti standard skalárszorzat hermitikus szeszkvilineáris forma. Lásd még: Klein-tér.

Általánosítás

A szeszkvilineáris forma modulusokra is kiterjeszthető, amennyiben van a nem feltétlenül kommutatív alapgyűrűnek antiautomorfizmusa. Legyenek $M,N$ modulusok ugyanazon $R$ gyűrű fölött, és legyen $\theta$ antiautomorfizmus $R$-en! Ekkor egy $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times N\to R$ leképezés $\theta$-szeszkvilineáris forma, ha testszőleges $m,m_{1},m_{2}\in M$, $n,n_{1},n_{2}\in N$ és $\lambda \in R$ esetén teljesülnek a következő feltételek:

• $\langle m_{1}+m_{2},n\rangle =\langle m_{1},n\rangle +\langle m_{2},n\rangle$
• $\langle m,n_{1}+n_{2}\rangle =\langle m,n_{1}\rangle +\langle m,n_{2}\rangle$
• $\langle \lambda m,n\rangle =\lambda \langle m,n\rangle$
• $\langle m,\lambda n\rangle =\langle m,n\rangle \theta (\lambda )$