Főmenü megnyitása

A teleszkopikus összegek a matematikában olyan összegeket takarnak, amelyekből némi átalakítás és egyszerűsítés után csak véges számú kifejezés összege marad. A név is ezt hívatott leírni: az egyszerűsítés előtti többtagú összegből egyszerűsítés után kevesebb tag marad, azaz hasonló dolog történik, mint egy teleszkóp összecsukásakor.

Teleszkopikus összegekSzerkesztés

A módszer alkalmazásához általában némi algebrai átalakításra van szükség, amivel kialakítható a szükséges szerkezet (azaz, hogy az egyszerűsítés lehetséges legyen). Ez történhet például (összegek esetében) egy nevezőben lévő szorzat összegekre történő felbontásával (partial fraction decomposition, parciális törtekre bontás).

ÁltalánosanSzerkesztés

A módszer akkor alkalmazható, ha van egy   sorozatunk, amelynek pl. az első n elemének összegét szeretnék meghatározni. Ekkor kell találnunk egy olyan   sorozatot, amelyre igaz, hogy  .

Ekkor felírható a következő:

 

A két oldalt összeadva végül eljutunk a keresett végeredményhez:

 

(Természetesen nem kell, hogy az egymásutáni tagok ejtsék ki egymást. Bármilyen olyan összegre való felbontása jó az   sorozatnak, amely garantálja, hogy az összegzendő tagok számától független darabszámú tag marad.)

Példák összegekreSzerkesztés

Téglalapszámok reciprokösszegeSzerkesztés

(A téglalapszámok az   alakú számok, ahol n egy természetes szám.)

A megoldáshoz a parciális törtekre bontás technikát hívhatjuk segítségül, amellyel megállapítható, hogy

 

Ezen információ felhasználásával már könnyedén kialakíthatjuk a teleszkopikus formát.

 
 
 
 
 

Hasonló módszerrel belátható, hogyha  , akkor

 

ahol   a k-dik harmonikus szám.

Első n pozitív egész szám m-dik hatványának összege[1]Szerkesztés

Ezen módszerrel tetszőleges   számra meghatározhatjuk a   összeg zárt képletét. A módszerben a teleszkopikus összeg a következőképpen jelenik meg: felhasználva, hogy  , felírható a következő:

 

A két oldal összeadva, az eredmény:

 

Azaz, ha ismerjük az m-nél kisebb hatványokra vonatkozó összegképleteket, akkor az m-dik hatványra vonatkozó összegképlet kifejezhető.

  • m = 1 esetén:

Mivel  , ezért felírható a következő:

 

Mindkét oldalt összeadva azt kapjuk, hogy:

 

Majd algebrai átalakításokkal eljuthatunk a végeredményhez:

 
  • m = 2 esetén:

Hasonlóan az előzőhöz itt is felírható a következő egyenlőség:

 

Azaz itt is felírható az általános azonosságot kihasználva, hogy:

 
 

amelyből némi algebrával kifejezhető, hogy

 .
  • A módszer könnyedén általánosítható bármilyen pozitív egész m-re, ha ismerjük az m-nél kisebb hatványok összegének a zárt képleteit.

1∙1! + 2∙2! + … + n∙n!Szerkesztés

A fenti sorozat ( ) összegének teleszkopikus kifejezéséhez a következő megfigyelés használható: ha  , akkor látható, hogy

 .

Ezáltal az összeg felírható a következőképpen:

 

A két oldalt összeadva megkapjuk a kívánt zárt képletet:

 

Teleszkopikus összeg visszafeléSzerkesztés

Néhány speciális esetben hasznos eredményre juthatunk, ha fordítva végezzük el a teleszkopikus felbontást. Azaz a teleszkopikus felbontás ismeretében próbáljuk meg megtalálni az eredeti sorozatot. Ehhez persze meg kell találnunk a megfelelő segédsorozatot.

Ezt a módszert például a   (ahol n pozitív egész) kifejezés szorzattá alakításához használhatjuk. Ha segédsorozatnak a következőt választjuk:

 ,

akkor látható, hogy   és  , továbbá  . Ezután úgy teszünk mintha az   sorozat lenne a teleszkopikus felbontása a keresett sorozatnak, és felírhatjuk a következőt:

 

Ha a két oldalt összeadjuk, azt kapjuk, hogy

 .

Azaz,

 .

Teleszkopikus szorzatokSzerkesztés

A technika szorzatok esetében is ugyanúgy használható, mint összegeknél. Szorzatoknál a számlálók és nevezők megfelelő formára hozása szükséges, hogy az egyszerűsítés lehetséges legyen.

Példák szorzatokraSzerkesztés

  •  
 
 
 

Továbbá az előbbi szorzat felbontható két szorzatra, amelyek kiszámítására szintén használható a teleszkopikus formára alakítás:

  •  
 
 
  •  
 
 

JegyzetekSzerkesztés

  1. Besenyei Ádám: Teleszkopikus összegekről, avagy kalandozások egy versenyfeladat körül (magyar nyelven) (pdf) pp. 16, 2013. január 8. (Hozzáférés: 2018. május 8.)