A Titu-lemma (avagy Titu Andreescu-féle egyenlőtlenség) a következő algebrai egyenlőtlenség:

,

ahol pozitív egész, az pozitív valós, míg az tetszőleges valós szám, bármely pozitív egész szám esetén.

Nevét az 1956-ban Temesváron született Titu Andreescu után kapta.

BizonyításaSzerkesztés

1. bizonyításSzerkesztés

Végezzük el az  ,   helyettesítést! Ekkor a következőt kapjuk:

 , átrendezve

 ,

ami pont a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség. Ennek egyenlőség-esete:

  minden i-re egyenlő.

2. bizonyításSzerkesztés

Teljes indukciót alkalmazunk, felhasználva az n=2 esetet, amit felszorzással és ekvivalens egyenlőtlenségekkel látunk be:

 ,

 ,

 ,

 .

Ez nyilván igaz, és egyenlőség-esete is leolvasható:  .

Az indukciós feltevésünk az eredeti egyenlőtlenség valamely n-re, ehhez még hozzávesszük az (n+1)-edik tagot:

 ,

itt az első becslés az indukciós feltevés, a második pedig a kétváltozós egyenlőtlenség alkalmazása  ,  ,  ,   esetre. Az egyenlőség-esetre is látható az indukciós bizonyítás.

AlkalmazásokSzerkesztés

A Titu-lemma igen gyakran alkalmazható "törtes" egyenlőtlenségeknél. A következő példa a Nesbitt-egyenlőtlenség egyik általánosítása:

 ,

ahol   (i=1,2,...,n) és  .

Első ránézésre nem látszik a bal oldali törtek számlálójában a teljes négyzet. Bővítsük tehát a törteket, majd alkalmazzuk a Titu-lemmát:

 .

Elég volna belátni, hogy

 , ami átrendezve

 ,

ami pedig triviális, mert ez a Titu-lemma  -re. Egyenlőség akkor és csak akkor, ha minden változó egyenlő.