Nesbitt-egyenlőtlenség

A matematikában a Nesbitt-egyenlőtlenség a Shapiro-egyenlőtlenség egy speciális esete. Tegyük fel, hogy a, b és c pozitív valós számok. Ekkor:

BizonyításSzerkesztés

Első bizonyításSzerkesztés

Kezdjük a Nesbitt-egyenlőtlenséggel (1903)

 

átalakítjuk a bal oldalát:

 

Átalakítva:

 

Majd pedig:

 

Most a bal oldalon van a számtani közép és jobbra a harmonikus közép, tehát ez az egyenlőtlenség igaz, hiszen a számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség igaz 3 pozitív szám esetén.

Második bizonyításSzerkesztés

Tegyük fel, hogy  . Ekkor viszont:

 

Felhasználva a rendezési egyenlőtlenséget tudjuk, hogy:

 
 

A kettőt összeadva kapjuk, hogy :

 

Ha ezt osztjuk 2-vel, akkor megkapjuk a kívánt állítást.

Harmadik bizonyításSzerkesztés

Legyen  . Mivel az   függvény konvex a   szakaszon, így a Jensen-egyenlőtlenség szerint:

  ,

ami 3-mal átszorozva a bizonyítandó egyenlőtlenséget adja:

  .

ÁltalánosításokSzerkesztés

  •   (mindhárom bizonyítás módszerével azonnal megkapjuk ennek az általánosításnak a bizonyítását is.)
  • Shapiro-egyenlőtlenség
  • Titu-lemma
  • súlyozott változat