A matematikában a Nesbitt-egyenlőtlenség a Shapiro-egyenlőtlenség egy speciális esete. Tegyük fel, hogy a , b és c pozitív valós számok. Ekkor:
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
Kezdjük a Nesbitt-egyenlőtlenséggel (1903)
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
átalakítjuk a bal oldalát:
a
+
b
+
c
b
+
c
+
a
+
b
+
c
a
+
c
+
a
+
b
+
c
a
+
b
−
3
≥
3
2
.
{\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}-3\geq {\frac {3}{2}}.}
Átalakítva:
(
(
a
+
b
)
+
(
a
+
c
)
+
(
b
+
c
)
)
(
1
a
+
b
+
1
a
+
c
+
1
b
+
c
)
≥
9.
{\displaystyle ((a+b)+(a+c)+(b+c))\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9.}
Majd pedig:
(
a
+
b
)
+
(
a
+
c
)
+
(
b
+
c
)
3
≥
3
1
a
+
b
+
1
a
+
c
+
1
b
+
c
.
{\displaystyle {\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}.}
Most a bal oldalon van a számtani közép és jobbra a harmonikus közép , tehát ez az egyenlőtlenség igaz, hiszen a számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség igaz 3 pozitív szám esetén.
Tegyük fel, hogy
a
≥
b
≥
c
{\displaystyle a\geq b\geq c}
1
b
+
c
≥
1
a
+
c
≥
1
a
+
b
{\displaystyle {\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}}
Felhasználva a rendezési egyenlőtlenséget tudjuk, hogy:
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
≥
a
a
+
b
+
c
a
+
c
+
b
b
+
c
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {a}{a+b}}+{\frac {c}{a+c}}+{\frac {b}{b+c}}}
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
≥
b
a
+
b
+
a
a
+
c
+
c
b
+
c
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {b}{a+b}}+{\frac {a}{a+c}}+{\frac {c}{b+c}}}
A kettőt összeadva kapjuk, hogy :
2
(
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
)
≥
a
+
b
a
+
b
+
a
+
c
a
+
c
+
b
+
c
b
+
c
=
3
{\displaystyle 2\left({\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\right)\geq {\frac {a+b}{a+b}}+{\frac {a+c}{a+c}}+{\frac {b+c}{b+c}}=3}
Ha ezt osztjuk 2-vel, akkor megkapjuk a kívánt állítást.
Legyen
s
=
a
+
b
+
c
{\displaystyle s=a+b+c}
f
(
x
)
=
x
s
−
x
{\displaystyle f(x)={\frac {x}{s-x}}}
(
0
,
s
)
{\displaystyle (0,s)}
Jensen-egyenlőtlenség szerint:
1
3
f
(
a
)
+
1
3
f
(
b
)
+
1
3
f
(
c
)
≥
f
(
s
/
3
)
=
s
/
3
s
−
s
/
3
=
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{3}}f(a)+{\frac {1}{3}}f(b)+{\frac {1}{3}}f(c)\geq f(s/3)={\frac {s/3}{s-s/3}}={\frac {1}{2}}}
ami 3-mal átszorozva a bizonyítandó egyenlőtlenséget adja:
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
∑
i
=
1
n
a
i
∑
j
=
1
n
a
j
−
a
i
≥
n
n
−
1
{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}a_{j}-a_{i}}}\geq {\frac {n}{n-1}}}
Shapiro-egyenlőtlenség Titu-lemma súlyozott változat 
