Valószínűségi áramsűrűség

A kvantummechanikában a valószínűségi áram (néha valószínűségi fluxus) a valószínűségi sűrűség áramlását írja le. Ha az ember a valószínűségi sűrűséget egy folyadéknak képzeli, akkor a valószínűségi áram ezen folyadék áramlásának erőssége (sűrűség szorozva a sebességgel).

DefinícióSzerkesztés

A valószínűségi áramot a következőképpen definiáljuk helybázison:

 

ami kielégíti a kontinuitási egyenletet:

 

ahol a   valószínűségi sűrűség definíciója:

 .

A divergenciatétel miatt a kontinuitási egyenlet a következő integrálegyenlettel ekvivalens:

 

ahol   tetszőleges térfogat és   a határfelülete. Ez a kvantummechanika valószínűség-megmaradásának törvénye, ami azt fejezi ki, hogy a részecske megtalálási valószínűsége a   térfogatban úgy növekszik, ahogy a valószínűség beáramlik.

PéldákSzerkesztés

SíkhullámSzerkesztés

A háromdimenzióbeli síkhullám

 

valószínűségi árama:

 

ami nem más, mint a részecske impulzusa

 

osztva a tömegével, azaz a "sebessége" (amennyibe a kvantummechanikai részecskeének van egyáltalán sebessége). Vegyük észre, hogy a valószínűségi áram nem nulla annak ellenére, hogy a síkhullámok stacionárius állapotok és így

 

mindenhol. Ez mutatja, hogy a részecske "mozgásban" lehet akkor is, ha a térbeli valószínűségi sűrűségének nincs explicit időfüggése.

Részecske egy dobozbanSzerkesztés

Tekintsük egy dimenzióban egy   hosszúságú dobozban levő részecske energia sajátállapotait:

 

A kapcsolódó valószínűségi áram:

 

mivel  

A kontinuitási egyenlet származtatásaSzerkesztés

Vezessük le a kontinuitási egyenletet a valószínűségi áram definíciójából és a kvantummechanika elveiből. Tegyük fel, hogy   egy részecske hullámfüggvénye helybázison (azaz    ,  , z   függvénye). Ekkor

 

annak a valószínűsége hogy a részecske helymérése V-n belüli értéket ad. Ennek időderiváltja

 

ahol   alakjáról feltesszük, hogy nem függ az időtől. Vegyük az időfüggő Schrödinger-egyenletet

 

és fejezzük ki belőle   időderiváltját

 

Ezt helyettesítsük vissza az előző egyenletbe:

 .

Használjuk ki a következő azonosságot:

 

és mivel az első és a harmadik tag kiejtik egymást:

 

Ha most vesszük   eredeti kifejezését is és észrevesszük, hogy a divergenciaoperátor argumentuma éppen  , akkor azt kapjuk, hogy:

 

ami a kontinuitási egyenlet integrálalakja. A differenciálalak abból következik, hogy ez az egyenlet minden   térfogatra igaz, és ezért az integrandusnak mindenhol el kell tűnnie:

 

További információkSzerkesztés