Vita:Dimenziótétel

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Vázlatos Ez a szócikk vázlatos besorolást kapott a kidolgozottsági skálán. Kevéssé fontos Ez a szócikk kevéssé fontos besorolást kapott a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: Gubb (vita), értékelés dátuma: 2010. október 31.

Egy kategóriaelméleti biz.

V₁-nek (a kiválasztási axióma következményeképpen) végtelen dimenziós esetben is van bázisa. Feltehető, hogy Ker φ bázisa B és V₁ bázisa a B bővítése, B U C. Ekkor a h

$V_{1}\quad {\overset {h}{\longrightarrow }}\quad \mathrm {Ker} \,\varphi ,\quad h|_{B}=\mathrm {id} ,\quad h|_{C}=0$

lineáris leképezést definiál. Ekkor

(1) $V_{1}=\mathrm {Ker} \,h\;\oplus \;\mathrm {Ker} \,\varphi$

Ugyanis, egyfelől előállítják összegként V₁ elemeit. Ha v ∈ V₁, akkor

$v=(v-h(v))+h(v)\,$

$h(v)\in \mathrm {Ker} \,\varphi$

$h(v-h(v))=h(v)-h(h(v))=h(v)-h(v)=0\,$, azaz $v-h(v)\in \mathrm {Ker} \,h$

Másrészt, Ker h ∩ Ker φ = {0}, mert ha v ∈ Ker φ, akkor h(v) = v, de ha emellett v ∈ Ker h, akkor v = h(v) = 0.

(2) $\mathrm {Ker} \,h\;\cong \;\mathrm {Im} \,\varphi$

éspedig az

$i=\varphi |_{\mathrm {Ker} \,h}$

leképezés által.

Ugyanis, i szürjektív, mert minden v ∈ V₁-re:

$\varphi (v)=\varphi (v-h(v)+h(v))=\varphi (v-h(v))+\varphi (h(v))=\varphi (v-h(v))+0=\varphi (v-h(v))\,$

s mivel v - h(v) ∈ Ker h, ezért Im i = Im φ.

Másrészt, i injektív, mert

$\mathrm {Ker} \,i=\{v\in \mathrm {Ker} \,h\mid i(v)=0\}=\mathrm {Ker} \,h\cap \mathrm {Ker} \,\varphi =\{0\}$

Tehát

$V_{1}\cong \mathrm {Ker} \,\varphi \;\oplus \;\mathrm {Im} \,\varphi$