Dimenziótétel

A dimenziótétel vagy nullitás–rang tétel a lineáris algebrában alapvetően a véges dimenziós terek között ható leképezések magterének és képterének komplementer jellegére mutat rá. Ha φ lineáris leképezés egy n dimenziós térből valamely másikba hat, Ker φ = { v | φv = 0 } a φ magtere és Im φ a leképezés értékkészlete, mint altér, akkor

dim Ker φ + dim Im φ = n

Ugyanazon terek között ható két leképezés közül, amelyik magtérdimenziója nagyobb, annak a képtérdimenziója kisebb.

A tétel a dimenziók szerepeltetése nélkül tovább általánosítható nem feltétlenül véges dimenziós V₁ térre is, a következő formában:

Ker φ ⊕ Im φ ≅ V₁

A tétel kapcsolatban van az első izomorfizmustétellel és az Abel-csoportok közötti morfizmusok dekompozíciós tételével.

Dimenziótétel

Ha V₁ véges dimenziós, V₂ pedig tetszőleges lineáris tér, továbbá φ:V₁ $\to$ V₂ lineáris leképezés, akkor

$\mathrm {dim\,Ker} \,\varphi +\mathrm {dim\,Im} \,\varphi =\mathrm {dim} \,V_{1}$

Bizonyítás

Legyen dim V₁ = n, dim Ker φ = k ≤ n és legyen Ker φ egy bázisa:

$\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{k}\}$

Mivel ez lineárisan független vektorrendszer V₁-ben, ezért vannak

$\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{m}\quad \quad (m=n-k)\,$

vektorok, melyekkel

$\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{k},\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{m}\}$

V₁ bázisa.

Belátjuk, hogy a c_j-k képvektoraiból álló

$F=\{\varphi (\mathbf {c} _{1}),\ldots ,\varphi (\mathbf {c} _{m})\}$

vektorrendszer Im φ bázisát alkotja. Ezután már készen vagyunk, mert f elemszáma így m lesz és kapjuk: dim Im φ = m = n - k = dim V₁ - dim Ker φ.

(1) F generálja Im φ-t. Legyen ugyanis φ(v) tetszőleges Im φ-beli vektor alkalmas v ∈ V₁-vel. Ekkor v-hez egyértelműen léteznek a λ_i, μ_j skalárok, hogy:

$\mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{k}+\mu _{1}\mathbf {c} _{1}+\ldots +\mu _{m}\mathbf {c} _{m}$

ezért

$\varphi (\mathbf {v} )=\varphi (\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +\lambda _{k}\mathbf {b} _{k}+\mu _{1}\mathbf {c} _{1}+\ldots +\mu _{m}\mathbf {c} _{m})=$

$=\lambda _{1}\varphi (\mathbf {b} _{1})+\ldots +\lambda _{k}\varphi (\mathbf {b} _{k})+\mu _{1}\varphi (\mathbf {c} _{1})+\ldots +\mu _{m}\varphi (\mathbf {c} _{m})=$

$=\mathbf {0} +\mu _{1}\varphi (\mathbf {c} _{1})+\ldots +\mu _{m}\varphi (\mathbf {c} _{m})$

azaz φ(v) már az F-beli vektorok lineáris kombinációjaként is előáll. Az előbb felhasználtuk, hogy a b_i vektorok képe mind 0.

(2) F lineárisan független. Tegyük fel, hogy F elemei előállítják a 0 vektort alkalmas skalárokkal. Ekkor

$\mathbf {0} =\mu _{1}\varphi (\mathbf {c} _{1})+\ldots +\mu _{k}\varphi (\mathbf {c} _{m})=\varphi (\mu _{1}\mathbf {c} _{1}+\ldots +\mu _{m}\mathbf {c} _{m})$

azaz

$\mu _{1}\mathbf {c} _{1}+\ldots +\mu _{m}\mathbf {c} _{m}\in \mathrm {Ker} \,\varphi$

Eszerint az előbbi vektor a Ker φ báziselemeinek egyértelmű lineáris kombinációjaként is előáll:

$\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +\lambda _{k}\mathbf {b} _{k}=\mu _{1}\mathbf {c} _{1}+\ldots +\mu _{m}\mathbf {c} _{m}$

amiből

$\mathbf {0} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +\lambda _{k}\mathbf {b} _{k}-\mu _{1}\mathbf {c} _{1}-\ldots -\mu _{m}\mathbf {c} _{m}$

de a vektorok függetlenségéből következik, hogy ekkor

$0=\lambda _{1}=\ldots =\lambda _{k}=-\mu _{1}=\ldots =-\mu _{m}$

speciálisan

$\mu _{1}=\ldots =\mu _{m}=0$.

Megjegyzés

A bizonyításból az is következik, hogy

1. Ker φ és a c_j-k generálta altér direkt összegként állítják elő V₁-et:

   $\mathrm {Ker} \,\varphi \;\oplus \;\langle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{m}\rangle =V_{1}$

2. φ a c_j-k generálta altérre leszűkítve az Im φ-be képező lineáris izomorfizmus.

Emiatt pedig V₁ a mag- és a képtér direkt összegével izomorf:

$\mathrm {Ker} \,\varphi \;\oplus \;\mathrm {Im} \,\varphi \cong V_{1}$

Direktösszeg-felbontás

Az univerzális algebra terminusaiban érvényes, hogy

$\{0\}\quad {\overset {\mathrm {id} }{\longrightarrow }}\quad \mathrm {Ker} \,\varphi \quad {\overset {f=\mathrm {id} }{\longrightarrow }}\quad V_{1}\quad {\overset {g=\varphi }{\longrightarrow }}\quad \mathrm {Im} \,\varphi \quad {\overset {0}{\longrightarrow }}\quad \{0\}$

egy rövid egzakt sorozat, azaz Im f = Ker g, hisz mindkettő a Ker φ.

Emiatt az Abel-csoportokra vonatkozó kategóriaelméleti dekompozíciós lemma gondolatmenetével is előállíthatjuk a direkt összeget.

Legyen Im φ egy bázisa

$\{\varphi (\mathbf {c} )\}_{\mathbf {c} \in C}$

alkalmas c ∈ C ⊆ V₁ vektorokkal. Ekkor C lineárisan független vektorrendszer, mert ha összefüggő volna, akkor a képe is összefüggő volna, ami viszont Im φ bázisa, tehát nem lehet összefüggő. Ez azt jelenti, hogy a

$(\varphi (\mathbf {c} ))_{\mathbf {c} \in C}$

függvény lineáris izomorfizmus definiál a C által kifeszített altéren. Ebben az esetben is

$V_{1}=\mathrm {Ker} \,\varphi \;\oplus \;\langle C\rangle$

és

$V_{1}\cong \mathrm {Ker} \,\varphi \;\oplus \;\mathrm {Im} \,\varphi$

Példa

1. Egy A mátrix esetén a v $\mapsto$ Av lineáris leképezés. Ennek a leképezésnek a magját az A mátrix magjának nevezzük.

Az

$A={\begin{bmatrix}2&1&-1\end{bmatrix}}$

magja nem más, mint egy R³ egy origón áthaladó síkja:

$\mathrm {Ker} \,A=\{(x,y,z)\mid 2x+y-z=0\}\,$

A dimenziótétel segíthet abban, hogy megállapítsuk, hogy a sík valóban kétdimenziós. Világos, hogy Im A = rang A = 1, mert egyetlen sorból álló mátrixról van szó, így dim Ker A = 3 - 1 =2.

2. A dimenziótétel végtelen dimenziós terekre is igaz. Ekkor persze ugyanazok a paradoxonok lépnek fel, mint a számosságaritmetikában.

A T testbeli értékű sorozatok T^ω terében az

$(a_{0},a_{1},...,a_{n},...){\overset {\lambda }{\mapsto }}(a_{0},a_{2},...,a_{2n},...)$

leképezés lineáris,

$\mathrm {Ker} \,\lambda =\{(0,a_{1},0,a_{3},...)\mid a_{1},a_{3},...\in T\},\quad \quad \mathrm {dim} \,\mathrm {Ker} \,\lambda =\aleph _{0}$

$\mathrm {Im} \,\lambda =T^{\omega },\quad \quad \mathrm {dim} \,\mathrm {Im} \,\lambda =\aleph _{0}$

így a dimenziótétel formulája átmegy az

$\aleph _{0}+\aleph _{0}=\aleph _{0}\,$

egyenlőségbe.

Bár Im λ az egész tér mégis λ (a végesdimenziósokkal ellentétben) nem injektív, mivel Ker λ ≠ {0}.

Források

• Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1998.
• Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Chelsea, 1999. ISBN 0-8218-1646-2

További információk

• PlanetMath: Rank–nullity theorem Archiválva 2009. március 15-i dátummal a Wayback Machine-ben