Főmenü megnyitása

Fermat-prímteszt

(Álprím szócikkből átirányítva)

A Fermat-prímteszt (vagy Fermat-féle prímszámpróba) egy valószínűségi prímteszt. A kis Fermat-tételen alapul, ami kimondja, hogy ha p prím, akkor ap-1 kongruens 1 mod p, ha p nem osztója a-nak.

MeneteSzerkesztés

Meg kívánjuk vizsgálni, hogy n szám 1-nél nagyobb páratlan egész prím-e. Legyen 1<a<n. Euklideszi algoritmussal ellenőrizhető, hogy n és a relatív prímek. Ha nem azok, akkor n bukja a tesztet, összetett.

Ha n prím, akkor an-1 kongruens 1 mod n. Ha nem így van, akkor n bukja a tesztet, összetett. Ha igen, akkor újabb véletlen a-val folytatódik a vizsgálat, egészen addig, amíg eléggé biztossá nem válik, hogy n valószínűleg prím. A legtöbb összetett szám ugyanis legfeljebb 1/2 valószínűséggel állja a tesztet egy véletlen a-ra.

Futási ideje moduláris hatványozással O(k × log2n × log log n × log log log n), ahol k a fordulók száma, azaz ennyi véletlen alapra megy a tesztelés.

ÁlprímekSzerkesztés

bi Ha n összetett, és an-1 kongruens 1 mod n valamely a-ra, akkor n a alapú álprím, másként pszeudoprím. Ilyen például a 341, ami álprím a 2 alapra.

Ha a kongruencia minden, az n-hez relatív prím a-ra fennáll, akkor n univerzális álprím, más néven Carmichael-szám. A legkisebb ilyen szám az 561. Végtelen sok ilyen szám van, de viszonylag ritkán.

Legyen most n páratlan pozitív egész. Teljesül a következő

Tétel:

1. n akkor és csak akkor álprím a b alapra, ha a mod n maradékosztályok csoportjában b rendje osztója n-1-nek.

2. Legyen lnko(b1,n)=lnko(b2,n)=1. Ha n álprím a b1 és a \b2 alapra nézve, akkor álprím a \b1b2, és a b1b2−1 alapokra is, ahol b2−1 a redukált mod n maradékosztályok csoportján értendő.

3. Ha n csak egyetlen hozzá relatív prím t-re is bukja a Fermat-tesztet, akkor a redukált maradékosztályoknak legalább a felére bukja.

Bizonyítás:

1. Ha b d rendje osztója n-1-nek, akkor bn-1 kongruens 1 mod n, mert akkor n-1=kd valamely egész k-ra, így bn-1=b(kd)=(bd)k kongruens 1k=1 mod n.

Vizsgáljuk most a redukált mod n maradékosztályokat. Ha ebben a csoportban valamely elemre igaz az, hogy an-1 kongruens 1 mod n, és egy másik k kitevőre is kongruens 1 mod n, akkor a^(n-1-k) kongruens 1 mod n is teljesül. Így le lehet folytatni az euklideszi algoritmust, és kiderül, hogy d=lnko(n-1,k)-ra is igaz, hogy a^d kongruens 1 mod n. Tehát van egy d osztója n-1-nek, amire a kongruencia teljesül.

Ha a legkisebb ilyen k-t vesszük, akkor ez az előzőek szerint osztója lesz n-1-nek, mert ha nem lenne meg maradéktalanul benne, akkor az a maradék kisebb lenne. Ez a legkisebb k kitevő pedig definíció szerint a maradékosztályának rendje a redukált maradékosztályok csoportjában.

2. Az kell, hogy az ilyen redukált maradékosztályok csoportot alkotnak. Ez így van, mert egyrészt (b1)d(b2)d=(b1b2)d (merthogy a redukált maradékosztályok csoportja kommutatív). Másrészt, ha b rendje d, akkor inverzének rendje is d

3. Legyenek most b1<b2< … <bk páronként inkongruens alapok, amelyekre n álprím. Most tekintsünk egy olyan n-hez relatív prím t-t, amelyre n bukja a tesztet. Szorozzuk meg vele az előbbi b1<b2< … <bk számokat, ezek páronként inkongruensek lesznek.

Állítás - n bukja a tesztet ezekre a tb1<tb2< … <tbk számokra.

Tegyük fel indirekt, hogy tbi-re nem bukja a tesztet, azaz n álprím erre az alapra. Ekkor mod n számolva a redukált maradékosztályok csoportjában n a tbibi−1 maradékosztály minden elemére álprím, így a t számra is, ami ellentmondás.

A Carmichael-számok karakterizációjaSzerkesztés

Tétel: Legyen n páratlan összetett szám. n akkor és csak akkor Carmichael-szám, ha:

1. n négyzetmentes és

2. n minden p prímosztójára  .

Bizonyítás

1. Tegyük fel, hogy n nem négyzetmentes. Belátjuk, hogy n nem lehet Carmichael-szám.

Mivel n nem négyzetmentes, van olyan p prímszám, hogy  .

Mivel n páratlan, ezért p>2. Vegyünk egy g primitív gyököt modulo p2. Legyen m a legnagyobb olyan osztója n-nek, ami négyzetmentes, és nem osztható p-vel. Tekintsük a következő kongruenciarendszert:

 
 .

Ez a kongruenciarendszer megoldható, mert m és p2 relatív prímek. Vegyük a kongruenciarendszer egy b megoldását.

Állítás - n bukja a tesztet a b alapra nézve.

Tegyük fel indirekt, hogy  .

Ekkor a kongruencia p2-re is teljesül, hiszen  . b mod p2 rendje osztója n-1-nek, de b primitív gyök mod p2. Ezért p-1 és p is osztója n-1-nek, és ez ellentmondás, mert két szomszédos egész szám mindig relatív prím egymáshoz.

2. Legyen most n páratlan, összetett és négyzetmentes. Ha most b relatív prím n-hez, akkor a Fermat-tétel szerint teljesül

 .

Mivel  , ezért minden b relatív prímre és p prímosztóra:

  .

Tekintsük a következő kongruenciarendszert:

 
 ,

ahol m=n/p, és g primitív gyök mod p.

Ez megoldható, mert m és p2 relatív prímek. Vegyük a kongruenciarendszer egy b megoldását.

Következik, hogy

 .

Ez teljesül, ha  , ugyanis g rendje p-1 mod p, és éppen ez az állítás. Különben

 , így
 .

ForrásokSzerkesztés

  • N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography 1994
  • Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Pages 889–890 of section 31.8, Primality testing.