Négyzetmentes szám

számelmélet
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2023. december 15.

A számelméletben a négyzetmentes számok azok a természetes számok, amelyek nem oszthatók 1-nél nagyobb szám négyzetével.

Az első néhány négyzetmentes szám:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, …

Tulajdonságaik

szerkesztés

Egy n természetes szám pontosan akkor négyzetmentes, ha prímtényezős felbontásában minden prímszám első hatványon szerepel. Úgy is mondhatjuk, hogy n különböző prímek szorzata. Hogyha p prím, és osztója n-nek, akkor p nem osztója n/p-nek. Egy további ekvivalens meghatározás, hogy ha n=ab, akkor a és b relatív prímek.

A μ(n) Möbius-függvény pontosan akkor nem 0, ha n négyzetmentes.

Egy egész szám radikálja mindig négyzetmentes. Egy egész szám akkor és csak akkor egyezik meg radikáljával, ha négyzetmentes.

Egy n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha minden n rendű Abel-csoport izomorf. Az izomorfia erejéig egyértelmű csoport ciklikus. Ez a végesen generált Abel-csoportok alaptételének következménye.

Egy n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha a Z / nZ gyűrű testek szorzata. Ez következik a kínai maradéktételből és abból következik, hogy Z / kZ akkor és csak akkor test, ha k prím.

Minden pozitív számra a szám pozitív osztói disztributív hálót alkotnak az oszthatósággal, mint rendezéssel. Ez akkor és csak akkor Boole-algebra, ha a szám négyzetmentes.

Dirichlet-generátorfüggvény

szerkesztés

A négyzetmentes számok Dirichlet-generátorfüggvénye

  ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvény.

Ez látható az Euler-szorzatból:

 

A négyzetmentes számok eloszlása

szerkesztés

Ha Q(x) jelöli a négyzetmentes számok számát 1 és x között, akkor

 

(lásd π és O jelölés). A négyzetmentes számok sorozatának sűrűsége tehát

 

ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény. Ezt 1885-ben Gegenbauer bizonyította.

Ebből az is levezethető, hogy végtelen sokszor teljesül, hogy 3 egymásutáni pozitív egész mindegyike négyzetmentes. Bizonyítás: tegyük fel indirekten, hogy ez nem igaz, ekkor   közül az első biztos nem négyzetmentes, hiszen osztható 4-gyel, a másik három közül pedig csak legfeljebb 2 lehet négyzetmentes az indirekt feltevés miatt, de akkor a négyzetmentes számok sűrűsége legfeljebb   lenne, ami kisebb, mint  . Az ellentmondás bizonyítja az állítást.

Hasonlóan, ha Q(x,n) jelöli az n-edik hatványmentes számok számát x-ig, akkor

 

Kódolás bináris számokként

szerkesztés

A négyzetmentes számok felírhatók, mint:

 

Tekinthetjük az   számokat egy kettes számrendszerbeli szám jegyeinek:

 

Például a 42 négyzetmentes, és felbontása 2 × 3 × 7; végtelen szorzatként  · 50 · 71 · 110 · 130 · ...; Így a megfelelő kettes számrendszerbeli szám ...001011, ami tízes számrendszerben 11.

A számelmélet alaptétele kimondja, hogy egy egész prímtényezős felbontása lényegében egyértelmű, ezért a fenti kódolás is egyértelmű. Megfordítva, minden pozitív egész szám dekódolható négyzetmentes számként, mivel a kettes számrendszerbeli reprezentáció is egyértelmű.

Például, ha most ismét a 42-ből indulunk ki, akkor ennek kettes számrendszerbeli alakja 101010. Innen a hozzá rendelt négyzetmentes szám 20 · 31 · 50 · 71 · 110 · 131 = 3 × 7 × 13 = 273.

A dekódolt négyzetmentes számok nagysága alapján a pozitív egészek permutációját kapjuk. Lásd A019565, A048672 és A064273.

Erdős sejtette, hogy a középső binomiális együttható:

 

n>4 esetén sohasem négyzetmentes. Elég nagy egészekre belátta Sárközy András 1985-ben,[1] és 1996-ban igazolta Olivier Ramaré és Andrew Granville.[2]

Egy ma még nyitott sejtés szerint minden Fermat-szám négyzetmentes.

Négyzetmentes mag

szerkesztés

A   multiplikatív függvény a pozitív egész számokhoz (n) a t-mentes számokat rendeli, ahol a prímhatványok kitevőit modulo t tekinti:

 

Speciálisan, a   értékkészlete a négyzetmentes számokból áll. Dirichlet-generátorfüggvényük

 .

Az OEIS-ben  A007913 (t=2),  A050985 (t=3) és  A053165 (t=4).

  1. András Sárközy. On divisors of binomial coefficients, I. J. Number Theory 20 (1985), no. 1, 70–80.
  2. Olivier Ramaré and Andrew Granville. Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients. Mathematika 43 (1996), no. 1, 73–107

Fordítás

szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Square-free integer című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.