Főmenü megnyitása

Bézout tétele az algebrai geometria egy kijelentése, ami két síkbeli algebrai görbe metszéspontjainak számáról ad felvilágosítást. Eszerint ha a két görbének nincs közös komponense (azaz végtelen sok közös pontja), akkor a metszéspontok száma legfeljebb a két görbe fokszámának szorzata. Egyenlőség akkor áll fent, ha ha ehhez minden pontot a multiplicitásával veszünk figyelembe, hozzávesszük a végtelen távoli pontokat, illetve komplex koordinátákkal számolunk.

A tétel kiterjeszthető többdimenziós esetekre is. Eszerint n homogén polinom n+1 változóval az n dimenziós térben egy-egy hipersíkot határoz meg. Ha ezek dimenziója , és minden pont véges az alatta fekvő tér algebrai lezártjában, akkor a metszéspontok száma multiplicitással számolva. Két változó, affin síkok esetén, vagy ha nem számoljuk a nemvalós pontok multiplicitását, a tétel csak egy felső határt ad a metszéspontok számára, ezt szokás Bézout-féle határnak nevezni.

A tétel legfontosabb alkalmazása a numerikus matematikában van, ahol e tétel segítségével állapítjuk meg egyenletek megoldhatóságát. A tétel szerint a számítási komplexitás a változók számával exponenciálisan nő, így a remélhető legjobb eset a Bézout-határ polinomiális függvénye.

Tartalomjegyzék

A tétel pontos megfogalmazásaSzerkesztés

Projektív síkonSzerkesztés

Legyen X és Y két projektív görbe az F tér felett, amik relatív prím polinomok.[1] Az általuk leírt két görbének az összes metszéspontja az F-et tartalmazó, algebrailag zárt E testbeli koordináták szerint a két polinom fokszámának szorzata.

Általános esetSzerkesztés

Legyen adott egy algebrailag zárt tér feletti n dimenziós projektív térben n darab projektív hiperfelület. Ha az ezeket meghatározó n+1 változós homogén polinomok fokszáma d1, d2,... dn, akkor a metszéspontok száma, multiplicitással számolva:

 

Ha a hiperfelületek irreducibilisek, és általános helyzetűek, akkor a metszéspontok mindegyike egyszeres, így a számuk pontosan a fenti szorzat.

A tétel tovább általánosítható, ez a multihomogén Bézout-tétel.

BizonyításSzerkesztés

A tételnek számos bizonyítása van. Az egyik lehetőség egy általános forma ismételt alkalmazásával való igazolás, de felhasználhatjuk a Hilbert-tereket is.

Általánosítással (vázlat)Szerkesztés

Legyen V egy δ dimenziós projektív algebrai halmaz, aminek a fokszáma d1, és ebben egy d2 fokú polinommal definiált H hiperfelület, aminek nincs V-ben irreducibilis komponense, akkor a két halmaz metszetének dimenziója δ-1, és a metszéspontok száma d1d2.

Ha ezt az eljárást az összes hiperfelületre egymás után elvégezzük, kapjuk a tétel állítását.

Homogén koordinátákkalSzerkesztés

Legyenek X és Y a két síkgörbe. Ezek koordinátás alakjai:

 
 ,

ahol ai és bi i-ed fokú homogén polinomjai x-nek és y-nak. A metszéspontok az így kapott egyenletrendszer megoldásai. Alkossuk meg a Sylvester-mátrixot, ami például m=4 és n=3 esetben a következő:

 

Ennek a mátrixnak a determinánsa egy mn-ed fokú homogén polinom x-ben és y-ban,[2] ami egyben a mátrix rezultánsa is, azaz az egyenletrendszer megoldásainak száma megegyezik a rezultáns megoldásainak számával. Az algebra alaptétele szerint egy mn-ed fokú polinomnak a komplex számtest felett mn gyöke van, a multiplicitást is beleszámolva, ebből pedig következik a tétel állítása.

TörténeteSzerkesztés

A tétel először Isaac Newtonnál bukkan fel, ő a Principia Philosophiae Naturalis első kötete 28. lemmájának bizonyításakor jelenti ki. Ebben a megfogalmazásban a tétel szerint két görbe metszéspontjainak száma a görbéket leíró polinomok fokszámának szorzata. A tételt később Étienne Bézout közölte az 1779-ben kiadott Théorie générale des équations algébriques írásában. Mivel neki még nem állt rendelkezésére a modern algebrai jelrendszer, kénytelen volt ormótlan algebrai kifejezésekkel bajlódni a bizonyításban. A modern szemlélet szerint Bézout bizonyítása felettébb ötletszerű volt, mivel többek között nem formalizálta a pontos feltételeket. Éppen ezért sokan nem is tekintik helyes bizonyításnak, mi több, még csak legelsőnek sem.

PéldákSzerkesztés

  • Egy parabolának és egy egyenesnek legfeljebb két metszéspontja lehet. A parabola egyenlete legyen  , az egyenesé pedig  . Ezek most homogén koordináták is, így rögtön fel is írhatjuk a megoldást. Az algebra alaptétele alapján pedig két megoldásunk van, mivel a parabola fokszáma 2, az egyenesé pedig 1. A két pont koordinátái valósak, az   esetben egybeesnek, a multiplicitásuk 2.
  • Két különböző, nem párhuzamos egyenes pontosan egy pontban metszi egymást. Ha párhuzamosak, akkor is van ugyan metszéspont, de az az egzotikus végtelen távoli pont.
    Példának okáért vegyünk két egyenest!
 
 
Ezeknek a homogén koordinátás alakja
 
 
amit megoldva kapjuk, hogy x=-2y és z=0, azaz a metszéspont koordinátája (-2;1;0). Mivel a z koordináta 0, a pont a végtelenben van.
  • Két kör esetén a tétel négy metszéspontot jósol, holott a köröknek a síkon csak két metszéspontja lehet. Az ellentmondás abban áll, hogy a másik két metszéspont koordinátái imagináriusok a homogén egyenlet megoldásai alapján. A végtelen távoli egyenes két pontján ugyanis minden kör átmegy. Ez a két pont az   és az  
  • Két kúpszeletnek összesen négy metszéspontja lehet. Itt figyelembe kell venni, hogy minden kúpszelet két pontban találkozik a végtelen távoli egyenessel, úgyhogy ezek is lehetnek metszéspontok, valamint hogy a metszéspontok többszörös gyökök is lehetnek.

MegjegyzésekSzerkesztés

  1. Azaz a legnagyobb közös osztójuk konstans
  2. Ne feledjük, hogy a mátrix elemei polinomok!

ForrásokSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bézout's theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.