Bloch-tétel

A Bloch-tétel a kristálytan és a szilárdtestfizika egyik fontos állítása, mely egy kristály adta periodikus potenciálban felírható elektron-állapotfüggvény jellemzőit adja meg. A Felix Bloch által javasolt matematikai formalizmus gyakorlati hasznát az adja, hogy segítségével felírható az elektronra vonatkozó Schrödinger-egyenletet periodikus potenciálban, mellyel a cél a szilárdtestben lévő elektronok állapotfüggvényének meghatározása.

A Bloch-tétel állításai

Ideális (transzlációs szimmetriával rendelkező) kristályban az elektron állapotfüggvénye egy olyan bázisban írható fel, melynek tulajdonságai a következők:

• az állapotfüggvények energia-sajátállapotra vonatkoznak,
• az állapotfüggvények úgynevezett Bloch-hullámok, azaz egy síkhullám és egy $u_{n}^{k}$ periodikus függvény (Bloch-függvény) szorzataként áll elő az alábbi formában:

$\Psi _{n}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {kr} }u_{n}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$

Következményei

A Bloch-tétel azt mondja ki, hogy egy periodikus rendszer energia sajátfüggvényei a fenti alakban felírhatók. Az állapothoz tartozó sajátenergia reciprokrács-vektor ($\mathbf {K}$) periodikus: $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {K} )$. Mivel az energiákhoz rendelt $n$ index folytonosan változik a $\mathbf {k}$ hullámszámmal, $n$ indexű energiasávokról beszélünk. Továbbá mivel az adott $n$-hez tartozó sajátenergiák periodikusak $\mathbf {k}$-ban, az összes különböző, adott $\mathbf {k}$-hoz tartozó $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )$ sajátérték megjelenik a reciprokrács első Brillouin-zónában.

Források

• Kempelen Farkas digitális tankönyvtár
• Gali Ádám: Atomi szintű számítógépes szimuláció szilárdtestekben: elmélet és gyakorlat I, BME, jegyzet
• Charles Kittel: Bevezetés a szilárdtest-fizikába. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 1981.