Bretschneider-formula

geometriai összefüggés
(Brahmagupta tétel szócikkből átirányítva)

A Bretschneider-formula egy geometriai összefüggés, mely a négyszögek területe és oldalaik hossza, és két szemközti szögük közötti összefüggést adja meg.

Bretschneider-formulaSzerkesztés

TételSzerkesztés

  ahol a, b, c, és d a négyszög oldalai, s a félkerület,   pedig két szemközti szög összegének fele.

BizonyításSzerkesztés

Az ABCD négyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel:
 
 
A koszinusz tételt alkalmazva:
 
 
Adjuk össze az előbbi és a területegyenletet:
 
Az egyenlet átalakítható:
 
Bevezetve a félkerületet és a   szöget:
 
 
 
 

Speciális esetekSzerkesztés

Húrnégyszögek (Brahmagupta-tétel)Szerkesztés

A Bretschneider-formula egyik leggyakoribb felhasználása a húrnégyszögek területének kifejezése oldalaik hosszának, és a húrnégyszög félkerületének segítségével.

TételSzerkesztés

  ahol a, b, c, és d a húrnégyszög oldalai, s pedig a félkerület.

BizonyításSzerkesztés

Az ABCD húrnégyszög területe a BD átló által meghatározott két háromszög területének összegével írható fel:  
Mivel ABCD húrnégyszög, és   és   szemközti szögek:  , tehát  
 
 
 
Alkalmazva a koszinusz tételt az ABD és a BCD háromszög DB oldalára:
 
 
 
Ezt behelyettesítve a terület egyenletbe:
 
 
 
 
Bevezetve a félkerületet:
 
 
 

Háromszögek (Hérón-képlet)Szerkesztés

TételSzerkesztés

  ahol a, b, és c a háromszög oldalai, s pedig a félkerület.

BizonyításSzerkesztés

Az állítás következik a húrnégyszögekre bebizonyított alakból, ha a háromszöget olyan elfajult húrnégyszögnek tekintjük, melynek két csúcsa egybeesik.