Főmenü megnyitása
Húrnégyszögek köréjük írt köreikkel

A húrnégyszög olyan négyszög, amelyhez van olyan kör, amely áthalad a négyszög négy csúcsán. Más megfogalmazásban, olyan négyszög, melynek oldalai egy kör húrjai. Speciálisan, húrnégyszögek az egyenlő szárú trapézok, amiket ezért húrtrapézoknak neveznek. Szintén speciálisak az olyan húrnégyszögek, melyeknek átlói merőlegesek egymásra.

Az a négyszög, amibe kör írható, érintőnégyszög.

Tartalomjegyzék

KépletekSzerkesztés

A húrnégyszög adatai
Terület  
Terület  
Oldalhosszak  
Félkerület  
Az átlók hossza  
A körülírt kör sugara  

Az első területképlet Brahmagupta tételeként (wd) ismert, melynek speciális esete, mikor d=0. Ezt a speciális esetet Hérón-képletként emlegetik, ami a háromszögek területének kiszámításának egy módszere. Ilyenkor a négyszög egyik oldala 0, így háromszöget kapunk. Néha az általános esetet is Hérón-képletnek nevezik.

A húrnégyszögek tételeSzerkesztés

Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege  .

A tétel megfordításaSzerkesztés

Ha egy négyszög két szemközti szögének összege  , akkor az húrnégyszög.

Tétel bizonyításaSzerkesztés

A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggés miatt a húrnégyszög   szögéhez tartozó középponti szög  . Az   szöggel szemközti   szöghöz tartozó középponti szög  . A két középponti szög kiegészíti egymást ( ), így  .

A tétel megfordításának bizonyításaSzerkesztés

Az   háromszög köré írt kört rajzolunk, megmutatjuk, hogy   erre illeszkedik. A kör   húrja az   pontból   szög alatt látszik,   pontból pedig   szög alatt. A síkon azok a pontok, melyekből a   húr   szög alatt látszik, az   háromszög köré írt körnek az íve, illetve ennek a  -re vonatkozó tükörképe. A feltétel miatt   négyszög konvex, így   csak a körvonalon lévő köríven lehet, azaz   négyszög húrnégyszög.

Ptolemaiosz tételeSzerkesztés

A húrnégyszög átlóinak szorzata a szemközti oldalpárok szorzatának összegével egyenlő.

Bizonyítás: Azt kell megmutatnunk, hogy  . Vegyünk fel az egyik átlón (pl. BD-n) egy olyan P pontot, melyre

 .

Ez minden esetben megtehető, hiszen a   szög AD szárától felvesszük a  -et. A félegyenesünk metszi BD-t, ez a pont P.

Ha  , akkor   is teljesül. Az azonos íven nyugvó kerületi szögek tételéből  . Mindebből következik, hogy az APB és ADC háromszögek hasonlók, azaz   ahonnan  .  

De   az azonos íven nyugvó kerületi szögek tételéből, így a BAC és az APD háromszögek szintén hasonlóak, hiszen szögeik egyenlők, így írhatjuk  

ahonnan  .  

Adjuk most össze az (1) és (2) egyenlőségeket; azt kapjuk hogy  

amit akartunk bizonyítani.

Tétel a húrnégyszög átlóinak szeleteirőlSzerkesztés

Az ABCD húrnégyszög egyik átlójának két szeletének szorzata megegyezik a húrnégyszög másik átlójának két szeletének szorzatával.

 ,

ahol P a két átló metszéspontja.

ForrásokSzerkesztés

  • Gerőcs László. Azok a csodálatos húrnégyszögek. Műszaki Könyvkiadó (1999). ISBN 963-16-2520-6