Főmenü megnyitása
Triangle with notations.svg

A geometriában a Hérón-képlet a háromszög területét adja meg a háromszög oldalainak függvényében:

ahol a, b és c a háromszög oldalai, s a háromszög kerületének a fele, és T a háromszög területe.

A képletet az alexandriai Hérón vezette be.

Tartalomjegyzék

BizonyításSzerkesztés

ElemiSzerkesztés

Teljesen elemi (a Pitagorasz-tételre és nevezetes azonosságokra épülő) bizonyítása történhet az általános magasságtétel segítségével.

TrigonometriaiSzerkesztés

A trigonometriai jellegű bizonyításhoz induljunk ki a koszinusztételből:

 

illetve abból a képletből, amely a háromszög területét két oldal és a közrezárt szög segítségével fejezi ki:

   
 
 
 
 
 

Ha a fenti képletbe behelyettesítjük a értékét, vagyis

 

akkor pont a Hérón-képletet kapjuk.

GeometriaiSzerkesztés

Elég annyit belátni, hogy

  •  
  •  

mert ebből már következik, hogy

 

Az ábráról leolvasható, hogy

 

és

 

valamint az   és   derékszögű háromszögek hasonlók.

Könnyen igazolható, hogy   és  , tehát   A tétel általánosítása gömbháromszögekre vonatkozóan a l'Huillier-tétel.

Más Hérón-képletekSzerkesztés

A következőket szintén szokták Hérón-képletnek nevezni:

A húrnégyszög területe

 ,

ahol  .

Az általános konvex négyszög területe

 ,

ahol s, mint előbb,  , és α és γ a négyszög két szemben fekvő szöge.

Az egyenlő oldalú tetraéder térfogata:

 

ahol a, b, c a tetraéder egy lapjának oldalhosszai, és  .

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés