Főmenü megnyitása
Érintőnégyszög ábrázolása. Az oldalakra állított merőlegesek négy deltoidra osztják az érintőnégyszöget.

Az érintőnégyszög olyan konvex négyszög, amelynek oldalai egyazon kör érintői (más szóval van beírt köre). Az érintősokszög speciális esete.

Érintőnégyszög például a négyzet, a rombusz és a konvex deltoid. Ha egy érintőnégyszög egyben húrnégyszög is, akkor bicentrikus négyszögnek nevezzük.

Az érintőnégyszög-tétel (ld. lentebb) a definíciónál egyszerű kritériumot ad arra nézve, hogy egy négyszög mely esetben érintőnégyszög. Nevezetesen, egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.

Az érintőnégyszög területe , ahol a, b, c és d az oldalak hossza, és r a beírt kör sugara. A bicentrikus négyszög területe: .

SzögfelezőkSzerkesztés

Egy érintőnégyszögben a szögfelezők a beírt kör középpontjában metszik egymást, és fordítva, ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor az érintőnégyszög.

Érintőnégyszög-tételSzerkesztés

Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő:  , ahol   a félkerület.

KövetkezménySzerkesztés

A négyszöget a kör középpontjából háromszögekre bontva adódik, hogy  . Ebből és a Bretschneider-formulából

 ,

ahol   és   az átlók hossza.

A tétel megfordításaSzerkesztés

Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.[1]

A tétel bizonyításaSzerkesztés

A körhöz húzott érintő pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek (érintő és szelőszakaszok tétele), vagyis   és  .

A tétel megfordításának bizonyításaSzerkesztés

Indirekt bizonyítjuk:

Tegyük fel, hogy   fennáll, de a négyszög nem érintőnégyszög. Legyen   a leghosszabb oldal, ekkor   és   összetartó egyenesek. Ha van két egyenlő hosszúságú oldal (  és  ), akkor nem helyezkedhetnek el egymással szemben a feltétel miatt, miszerint   hosszabb a másik két oldalnál. Az   oldal és a   illetve   oldal   felé történő meghosszabbítása által meghatározott háromszög egyértelműen meghatároz egy   kört. Tegyük fel, hogy   nem érinti  -t.

Ekkor két eset van:

1)   metszi  -t

vagy

2)  -nek és  -nak nincsen közös pontja

Mozgassuk el   egyenesét párhuzamosan úgy, hogy érintse  -t. Ekkor   érintőnégyszög mindkét esetben.

1)-nél  , de ekkor nem lenne igaz a   feltevés, vagyis ellentmondáshoz jutottunk.

2)-nél ugyanígy ellentmondás, mivel  .

Átlók beírt köreiSzerkesztés

Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha az átlói által meghatározott négy háromszög beírt köreinek sugaraira teljesül  .[2]

ForrásokSzerkesztés

A Wikimédia Commons tartalmaz Érintőnégyszög témájú médiaállományokat.
  1. Archivált másolat. [2010. március 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2010. június 3.)
  2. Chao, Wu Wei; Simeonov, Plamen (2000). „When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698)”. American Mathematical Monthly 107 (7), 657–658. o.