Császár-féle test

Császár-féle test
Animációs film a Császár-féle test forgatásáról és síkba terítéséről.
Lapok 14 háromszög
Élek 21
Csúcsok 7
Euler-karakterisztika 0
Génusz 1
Duális poliédere Szilassi-poliéder
Konvexitás Nem konvex

A Császár-féle test geometriai test, nemkonvex poliéder. Topológiailag a tórusszal homeomorf, azaz gyurmából elkészített modelljét vágás és ragasztás nélkül gyűrűvé lehet átformálni (szemben például a tetraéderrel, amivel ezt nem lehet megtenni). 14 háromszög határolja. Átlói nincsenek, minden pár csúcs egy élben érintkezik egymással. A tetraéderen és a Császár-féle testen kívül nem ismert olyan poliéder, amelynek nincsenek átlói. A Császár-féle test a Szilassi-poliéder duális poliédere. Nevét felfedezőjéről, Császár Ákosról kapta.

Átlómentes testekSzerkesztés

Ha egy c csúcsszámú, l lapszámú, e élszámú poliédert beültetünk egy h lyukú felületbe olyan módon, hogy minden csúcspárt egy éllel kötünk össze, az Euler-féle poliédertétel általánosításának ( ) átalakítása után azt kapjuk, hogy

 .

Az egyenletet a tetraéder h = 0 és c = 4 értékekkel elégíti ki, a Császár-féle test pedig h = 1 és c = 7-tel. A következő lehetséges megoldás, a h = 6 és c = 12, ami egy 44 lapú, 66 éllel rendelkező test lenne, amiről nem tudjuk, létezik-e valójában. Általánosabban, az egyenletet kielégítő megoldások esetében a c 0, 3, 4, vagy 7 maradékot ad 12-vel osztva.

TörténeteSzerkesztés

A Császár-féle test felfedezéséhez az 1948-as Kürschák-verseny egyik – pontatlanul megfogalmazott – feladata vezetett. A feladat így szólt: „Igazoljuk, hogy egyetlen olyan poliéder létezik, amelynek nincs átlója, (azaz bármely két csúcsát él köti össze) és ez a tetraéder.” A feladat kiírói elmulasztották kikötni azt, hogy a keresett poliéder egyszerű legyen. Császár, aki akkor az ELTE tanársegédje volt, a verseny után röviddel megmutatta,[1] hogy a tetraéderen kívül van még egy olyan poliéder, amely kielégíti a feladat feltételeit, és ez a Császár-féle test.[2]

ForrásokSzerkesztés

  1. Császár, A. (1949). „A polyhedron without diagonals”. Acta Sci. Math. Szeged 13, 140–142. o.  
  2. Szilassi Lajos: A Császár-poliéder
  • Gardner, Martin. Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. W. H. Freeman and Company, pp.139-152. o. (1988. március 11.). ISBN 0-7167-1924-X 
  • Gardner, Martin. Fractal Music, Hypercards and More: Mathematical Recreations from Scientific American. W. H. Freeman and Company, pp.118-120. o. (1992. március 11.). ISBN 0-7167-2188-0 

További információkSzerkesztés