Csebisev-függvény

A matematikában a Csebisev-függvény a Csebisevről elnevezett két függvény egyike. Az első Csebisev-függvény a ϑ(x) vagy θ(x) definíciója

ahol az összegzés az x-nél nem nagyobb prímekre megy.

A második Csebisev-függvény definíciója hasonló, de az összegzés az összes x-nél nem nagyobb prímhatványt magában foglalja:

ahol a von Mangoldt-függvény. A Csebisev-függvények, különösen a ψ(x) második Csebisev-függvény gyakran hasznosnak bizonyulnak a prímekhez kapcsolódó problémákban, mivel egyszerűbb velük számolni, mint a prímszámláló π(x) függvénnyel.

Mindkettő aszimptotikus x-hez, ami a prímszámtétellel ekvivalens.

KapcsolatukSzerkesztés

A második Csebisev-függvény kifejezhető, mint

 

ahol k az az egész, amire pk ≤ x, és x < pk+1. A k értékek sorozata  A206722. A következő egy még közvetlenebb kapcsolatot fejez ki:

 

Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi összegben véges sok tag kivételével mindegyik nulla:

 

A második Csebisev-függvény az 1-től n-ig terjedő egészek legkisebb közös többszörösének logaritmusa:

 

Az n függvényében a     sorozat az  A003418 sorozat.

Aszimptotika és korlátokSzerkesztés

A következő képletekben a pk a k-adik pozitív prímet jelöli. A Csebisev-függvényre a következő korlátok ismertek:Sablon:RefSablon:Ref

   -re
  k ≥ 198-ra,
  minden x ≥ 10,544,111-re,
  minden x ≥ exp(22)-re,
  minden  -re.

Továbbá, a Riemann-hipotézis teljesülése esetén

 
 

minden  -ra.

Mindkét függvényre ismertek felső korlátok is, így[1]

 
 

minden  -ra. Az 1,03883 magyarázatát az  A206431 adja meg.

Egzakt képletekSzerkesztés

1895-ben Hans Carl Friedrich von MangoldtSablon:Ref explicit kifejezte a   függvényt a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összegeként:

 

ahol ζ'(0)/ζ(0) értéke log(2π),   befutja a zéta-függvény nem triviális gyökeit, és ψ0 éppen a ψ, kivéve, hogy átugorja annak szakadási helyeit a prímhatványoknál, és ezeken a helyeken a két határérték számtani közepét veszi fel:

 

A logaritmus Taylor-sora szerint az utolsó tag tekinthető, mint   összege a Riemann-féle zéta-függvény triviális gyökei, a negatív egészek fölött:

 

Hasonlóan, az első tag x = x1/1 megfelel a Riemann-féle zéta-függvény elsőrendű pólusának az 1 helyen. Mivel nem gyök, hanem pólus, azért negatív előjellel szerepel az összegben.

TulajdonságokSzerkesztés

Erhard Schmidt egy tétele szerint egy rögzített pozitív egész K-ra végtelen sok olyan x létezik, amire

 

és végtelen sok x, hogy

 Sablon:RefSablon:Ref

A kis ordo jelöléssel

 

Hardy és LittlewoodSablon:Ref eredménye erősebb:

 

Kapcsolat a primoriálokkalSzerkesztés

Az első Csebisev-függvény x primoriáljának logaritmusa, amit x# jelöl:

 

Ez bizonyítja, hogy az x# primoriál aszimptotikusan egyenlő exp((1+o(1))x)-szel, ahol "o" a kis ordo jelölés, és a prímszámtétellel együtt bizonyítja pn# aszimptotikus viselkedését.

Kapcsolat a prímszámláló függvénnyelSzerkesztés

A Csebisev-függvények kapcsolatba hozhatók a prímszámláló függvénnyel. Legyen

 

Ekkor

 

Az áttérés  -ről  -reó a következő egyenlettel lehetséges:

 

Mivel  , azért a legutóbbi reláció írható, mint

 

A Riemann-hipotézisSzerkesztés

A Riemann-hipotézis szerint a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek valós része 1/2. Ekkor  , és megmutatható, hogy

 

A fentiek szerint ebből következik, hogy

 

Alain Connes és társai úgy próbálták igazolni a hipotézist, hogy deriválták a von Mangoldt-formulát x szerint, ahol x = exp(u). A Hamilton-operátor exponenciálisának nyom képletét véve

 
 

ahol a trigonometrikus összeg tekinthető az   operátor nyomának, ami csak akkor igaz, ha  

A H = T + V hatványának félklasszikus megközelítésével:

 

ahol Z(u) → 0 as u → ∞. A   egy megoldása ennek a nemlineáris integrálegyenletnek, a

 

hatvány inverzének a kiszámításával.

Simító függvénySzerkesztés

A simító függvény definíciója

 

Belátható, hogy

 

VariációszámításSzerkesztés

A Csebisev-függvény az x = exp(t) helyen minimalizálja az

 

funkcionált, így

 

c > 0 -ra.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Rosser, J. Barkley (1962). „Approximate formulas for some functions of prime numbers.”. Illinois J. Math. 6, 64–94.. o. [2016. augusztus 18-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés ideje: 2017. augusztus 3.)  

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Chebyshev function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.