Von Mangoldt-függvény

A matematikában a von Mangoldt-függvény egy Hans von Mangoldtról elnevezett számelméleti függvény. Példa arra, hogy egy fontos számelméleti függvény nem szükségképpen multiplikatív vagy additív.

DefinícióSzerkesztés

A Λ(n)-nel jelölt von Mangoldt-függvény definíciója:

 

Λ(n) értékei az első kilenc pozitív egészre

 

ami az (A014963 sorozat az OEIS-ben) sorozathoz kapcsolódik.

Összegfüggvénye a ψ(x) Csebisev-függvény, aminek definíciója:

 

A ψ(x) függvényre von Mangoldt explicit képletet is meghatározott, amiben a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összege is szerepel. EZ a prímszámtétel első bizonyításának fontos része volt.

TulajdonságokSzerkesztés

A von Mangoldt-függvény megfelel a következő azonosságnak:[1][2]

 

Az összeg befutja azokat a pozitív egész d-ket, amelyek osztói n-nek. Ez bizonyítható a számelmélet alaptételével, mivel azok az értékek, amelyeket a függvény nem prímhatványokra vesz fel, csak a nulla. Legyen például n = 12 = 22 × 3. Ekkor

 

A Möbius-inverzióval kapjuk, hogy[2][3][4]

 

Dirichlet-sorSzerkesztés

A von Mangoldt-függvény fontos szerepet játszik a Dirichlet-sorok elméletében, és a Riemann-féle zéta-függvényhez is kapcsolódik. Speciálisan,

 

A logaritmikus derivált

 

Ezek a Dirichlet-sorokkal való kapcsolat speciális esetei. Ha

 

egy  f (n) teljesen multiplikatív függvény, és a sor konvergál a Re(s) > σ0 helyekre, akkor

 

konvergens minden Re(s) > σ0-ra.

Csebisev-függvénySzerkesztés

A ψ(x) második Csebisev-függvény a von Mangoldt-függvény összegfüggvénye:[5]

 

A Csebisev-függvény Mellin-transzformációja a Perron-formula felhasználásával:

 

ami teljesül, ha Re(s) > 1.

Exponenciális sorokSzerkesztés

 

Hardy és Littlewood vizsgálta ennek a sornak az y → 0+ határértékét[6]

 

A Riemann-hipotézis teljesülésének esetére belátták, hogy

 

Azt is megmutatták, hogy a sor oszcillál, mégpedig egyre erősebben. Sőt, létezik egy K > 0 úgy, hogy végtelen gyakran

 

A mellékelt grafikon mutatja, hogy ez az első valahány számra ez nem nyilvánvaló: az oszcilláció egészen az első 100 millió tag összegzéséig nem látható tisztán, és csak akkor látható, ha y < 10−5.

Riesz-középSzerkesztés

A von Mangoldt-függvény Riesz-közepe

 

ahol λ és δ a Riesz-közép paraméterei, és c > 1. A ρ fölötti összeg a Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg, és

 

konvergens, ha λ > 1.

Approximáció a Riemann-féle zéta-függvény gyökeivelSzerkesztés

A Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg:

 

ahol ρ(i) az i-edik zéta-gyök, a csúcsok a prímeknél, ami numerikus számításokkal is bizonyítható. Az összeg nem megy el addig, hogy kiadja a von Mangoldt-függvény értékeit.[7]

A von Mangoldt-függvény Fourier-transzformációja által adott spektrumban a csúcsok a Riemann-féle zéta-függvény gyökeinek képzetes részeinél vannak. Ezt néha dualitásnak nevezik.

 
A von Mangoldt-függvény Fourier-transzformáltja

JegyzetekSzerkesztés

  1. Apostol (1976) p.32
  2. a b Tenenbaum (1995) p.30
  3. Apostol (1976) p.33
  4. Schroeder, Manfred R.. Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity, 3rd, Springer Series in Information Sciences, Berlin: Springer-Verlag (1997). ISBN 3-540-62006-0 
  5. Apostol (1976) p.246
  6. Hardy, G. H. (1916). „Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes”. Acta Mathematica 41, 119–196. o. [2012. február 7-i dátummal az eredetiből archiválva]. DOI:10.1007/BF02422942. (Hozzáférés ideje: 2015. július 5.)  
  7. Conrey, J. Brian (2003. március 1.). „The Riemann hypothesis”. Notices Am. Math. Soc. 50, 341-353. o.   Page 346

ForrásokSzerkesztés

  • * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
  • Tenebaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory, Translated by C.B. Thomas, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press (1995). ISBN 0-521-41261-7