Csebisev-csomópontok

valós algebrai számok, az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökei
(Csebisev csomópontok szócikkből átirányítva)

A numerikus analízisben a Csebisev-csomópontok speciális valós algebrai számok, nevezetesen az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökei. Ezeket gyakran használják csomópontként polinomiális interpolációban, mert a kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatás mértékét.[2]

A Csebisev-csomópontok egyenértékűek az n egyenlőközű pontok x koordinátáival egy félkörön (itt, n=10). [1]

Meghatározás szerkesztés

 
Az első 50-es csebisevi polinom nullái

Egy adott n pozitív egész számra a ( − 1, 1) intervallumon lévő Csebisev-csomópontok a következők:

 

Ezek az elsőfajú Csebisev-polinom n-ed fokú gyökei. Egy tetszőleges [ a, b ] intervallumon lévő csomópontoknál affin transzformáció használható:

 

Közelítés szerkesztés

A Csebisev-csomópontok fontosak a közelítéselméletben, mert különösen jó csomópontokat alkotnak a polinomiális interpolációhoz. Adott ƒ függvény  intervallumon és n darab  pont. Ezen az intervallumon, az interpolációs polinom az az egyedülálló legfeljebb  -ed fokú   polinom melynek minden  ponton  értéke van. Az interpolációs hiba a  -re:

 

néhány (x-től függő)  -ra a [−1,1] intervallumon.[3] Ezt minimalizáljuk

 

Ezen produs egy n fokú monic polinom. Kimutatható, hogy az ilyen polinomok maximális abszolút értéke alulról 21−n -től kötött. Ezt a kötést a 21−nTn skálázott Csebisev-polinomok érik el, amelyek szintén monikusak. (Emlékezzünk arra, hogy |Tn(x)|≤1 x ∈[−1,1] esetén. [4] Ezért, ha az xi interpolációs csomópontok a Tn gyökei, a hiba:

 

Egy tetszőleges [a, b] intervallum esetén a változó változása azt mutatja

 

Megjegyzések szerkesztés

  1. Lloyd N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice (SIAM, 2012).
  2. Fink, Kurtis D., and John H. Mathews.
  3. (Stewart 1996), (20.3)
  4. (Stewart 1996), Lecture 20, §14

Irodalom szerkesztés

További irodalom szerkesztés

  • Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8. kiadás, 503–512. ISBN 0-534-39200-8 .