Az ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, a ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )} koordinátákkal. A kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszer általánosítása, Szemben a legtöbb használatban levő koordináta-rendszerrel, az ellipszoid koordináta-rendszer konfokális másodfokú felületeken alapul.
A ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )} ellipszoid koordinátákról a következő képletekkel lehet áttérni az ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} Descartes-koordinátákra :
x 2 = ( a 2 + λ ) ( a 2 + μ ) ( a 2 + ν ) ( a 2 − b 2 ) ( a 2 − c 2 ) {\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}} y 2 = ( b 2 + λ ) ( b 2 + μ ) ( b 2 + ν ) ( b 2 − a 2 ) ( b 2 − c 2 ) {\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}} z 2 = ( c 2 + λ ) ( c 2 + μ ) ( c 2 + ν ) ( c 2 − b 2 ) ( c 2 − a 2 ) {\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}} ahol az egyes koordinátákra a következő egyenlőtlenségek teljesülnek:
− λ < c 2 < − μ < b 2 < − ν < a 2 . {\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.} Ebből következően a konstans λ {\displaystyle \lambda } -hoz tartozó felületek ellipszoidok:
x 2 a 2 + λ + y 2 b 2 + λ + z 2 c 2 + λ = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,} míg a konstans μ {\displaystyle \mu } -jű felületek egyköpenyű hiperboloidok
x 2 a 2 + μ + y 2 b 2 + μ + z 2 c 2 + μ = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,} és a konstans ν {\displaystyle \nu } -jű felületek kétköpenyű hiperboloidok
x 2 a 2 + ν + y 2 b 2 + ν + z 2 c 2 + ν = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1} Mindezek a felületek konfokális másodfokú felületek .
Skálázási tényezők és differenciáloperátorok
szerkesztés
A képletek egyszerűsítésére bevezetjük a következő jelölést:
S ( σ ) = d e f ( a 2 + σ ) ( b 2 + σ ) ( c 2 + σ ) {\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)} ahol σ {\displaystyle \sigma } a ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )} koordináták bármelyikét reprezentálhatja. Ezzel a skálázási tényezők:
h λ = 1 2 ( λ − μ ) ( λ − ν ) S ( λ ) {\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}} h μ = 1 2 ( μ − λ ) ( μ − ν ) S ( μ ) {\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}} h ν = 1 2 ( ν − λ ) ( ν − μ ) S ( ν ) {\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}} Eszerint az infinitezimális térfogatelem :
d V = ( λ − μ ) ( λ − ν ) ( μ − ν ) 8 − S ( λ ) S ( μ ) S ( ν ) d λ d μ d ν {\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu } és a Laplace-operátor :
∇ 2 Φ = 4 S ( λ ) ( λ − μ ) ( λ − ν ) ∂ ∂ λ [ S ( λ ) ∂ Φ ∂ λ ] + 4 S ( μ ) ( μ − λ ) ( μ − ν ) ∂ ∂ μ [ S ( μ ) ∂ Φ ∂ μ ] + 4 S ( ν ) ( ν − λ ) ( ν − μ ) ∂ ∂ ν [ S ( ν ) ∂ Φ ∂ ν ] {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\end{aligned}}} A további differenciáloperátorok, mint ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } és ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } kifejezhetők a ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )} koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Egy alternatív paraméterezés a gömbkoordináták szögparaméterezését követi:[1]
x = a s sin θ cos ϕ , {\displaystyle x=as\sin \theta \cos \phi ,}
y = b s sin θ sin ϕ , {\displaystyle y=bs\sin \theta \sin \phi ,}
z = c s cos θ . {\displaystyle z=cs\cos \theta .} Ahol s > 0 {\displaystyle s>0} paraméterezi az origó körüli koncentrikus ellipszoidokat, és θ ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle \theta \in [0,\pi ]} illetve ϕ ∈ [ 0 , 2 π ] {\displaystyle \phi \in [0,2\pi ]} rendre a polárszög és az azimut. A megfelelő térfogatelem :
d x d y d z = a b c s 2 sin θ d s d θ d ϕ . {\displaystyle dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .}
Methods of Theoretical Physics, Part I . New York: McGraw-Hill, 663 . o. (1953)
Zwillinger D. Handbook of Integration . Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9
Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . New York: Springer Verlag, 101 –102. o. (1967)
Mathematical Handbook for Scientists and Engineers . New York: McGraw-Hill, 176 . o. (1961)
The Mathematics of Physics and Chemistry . New York: D. van Nostrand, 178 –180. o. (1956)
Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions , corrected 2nd, 3rd print, New York: Springer Verlag, 40 –44 (Table 1.10). o. (1988). ISBN 0-387-02732-7
Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics ) , 2nd, New York: Pergamon Press, 19–29. o. (1984). ISBN 978-0-7506-2634-7 Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.
Ez a szócikk részben vagy egészben az Ellipsoidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.