Euler-tétel (geometria)
Az euklideszi síkgeometriában az Euler-tétel teremt kapcsolatot egy háromszög beírt (hozzáírt) körének, körülírt körének sugara, és a középpontjaik távolsága közt. Nevezetesen:
- (R - r)2 = r2 + d2
ahol R a körülírt, r a beírt kör sugara, d a középpontjaik távolsága. Beírt helyett hozzáírt körre a képlet:
- (R + r)2 = r2 + d2
ahol r a háromszög egyik hozzáírt körének sugara, d a középpontja és a körülírt körének középpontjának távolsága.
A tételt Leonhard Euler svájci matematikusról nevezték el, aki 1767-ben publikálta, jóllehet, már előtte, 1746-ban William Chapple is megtette.[1][2]
Bizonyítás szerkesztés
Lemma: ha a beírt (hozzáírt) kört eltoljuk a centrálisra merőlegesen úgy, hogy a kép középpontja ráessen a beírt (hozzáírt) körre, akkor ez a kép érinteni fogja a körülírt kört.
A lemmából egy Pitagorasz-tétellel megkaphatjuk Euler-tételét.
A lemma bizonyítása: alkalmazzunk a beírt (hozzáírt) körre való inverziót. A körülírt kör (C) képének a középpontja is rajta lesz az beírt (hozzáírt) - körülírt kör centrálisán, sugara r/2 lesz, mert az érintési pontok által alkotott háromszögnek a beírt (hozzáírt) kör a körülírt köre, a csúcsok inverzei pedig az érintési pontok felezőpontjai lesznek, azaz a körülírt kör képe az érintési pontokból álló háromszög Feuerbach-köre, azaz r/2 sugarú. A beírt (hozzáírt) kör eltoltjának képe pedig egy IO/EO-val párhuzamos egyenes (ahol I és E a be- és hozzáírt körök, O a háromszög köré írt körnek középpontja), és attól r/2 távolságra lesz mert nem inverzként a legtávolabbi pontja éppen 2r távolságra volt, tehát az inverz képeik érintik egymást, tehát a köréírt kör és a beírt (hozzáírt) kör eltoltja is.
Megfordítása szerkesztés
Két kör minden olyan kompozíciójába, ahol teljesül az összefüggés, lehet húr-érintő háromszöget írni.
Kapcsolódó fogalmak szerkesztés
Euler-egyenlőtlenség szerkesztés
Az Euler-egyenlőtlenség azt mondja ki, hogy egy háromszög köré írt kör sugara mindig nagyobb egyenlő, mint a háromszög beírt körének kétszerese:
- R >= 2r
Bicentrikus sokszög szerkesztés
Poncelet záródási tétele szerkesztés
Jegyzetek szerkesztés
- ↑ Chapple, William (1746), "An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles", Miscellanea Curiosa Mathematica 4: 117–124, https://books.google.com/books?id=a95JAAAAMAAJ&pg=PA118-IA1
- ↑ Euler, Leonhard (1767), "Solutio facilis problematum quorumdam geometricorum difficillimorum", Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 11: 103–123, http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E325.pdf
