Főmenü megnyitása

A matematikában az asszociatív grupoidokat félcsoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan egyműveletes algebrai struktúra, amelyben a binér művelet asszociatív. Ha a művelet kommutatív is, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   tetszőleges grupoid. Azt mondjuk, hogy   félcsoport, ha a   művelet asszociatív, azaz ha az   un. alaphalmaz tetszőleges   elemeire   teljesül. Ha a   művelet kommutatív is, azaz   teljesül tetszőleges   elemekre, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Tetszőleges   félcsoportban érvényes az általános asszociativitás törvénye, azaz a   művelet eredménye nem függ a zárójelezéstől, csupán a vizsgált kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől. Kommutatív félcsoportban érvényes az általános kommutativitás törvénye, azaz a művelet eredménye nem csak a zárójelezéstől független, hanem a kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől is.

Egy   félcsoport tetszőleges   eleme esetén az   elemet kétféleképpen szoktuk jelölni. Vagy (a számok összegének mintájára)  , vagy pedig (a számok szorzatának mintájára)   módon. Ilyenkor azt is szoktuk mondani, hogy (az első esetben) additív írásmódot, illetve (a második esetben) multiplikatív írásmódot használunk, a művelet jeleként pedig az összeadás, illetve a szorzás jelét használjuk; multiplikatív írásmód esetén gyakran el is hagyjuk a szorzás jelét:   helyett  -t írunk. Additív írásmód esetén az  -tagú   összeget  , multiplikatív írásmód esetén az  -tényezős   szorzatot   módon jelöljük; itt   pozitív egész szám. Egy félcsoport tetszőleges   és   elemeire és tetszőleges   pozitív egészekre érvényesek az alábbiak.

Additív írásmód esetén:

  •  
  •  
  • Ha a félcsoport kommutatív, akkor  

Multiplikatív írásmód esetén:

  •  
  •  
  • Ha a félcsoport kommutatív, akkor  

A továbbiakban multiplikatív írásmódot használunk, és a félcsoportokat csak az alaphalmazukkal jelöljük.

Részfélcsoport, ideálSzerkesztés

Egy   félcsoport részfélcsoportján az   halmaz olyan nem üres   részhalmazát értjük, amely maga is félcsoport az  -beli műveletre nézve, azaz tetszőleges   elemek esetén  .

Egy   félcsoport   részfélcsoportját az   egy bal (jobb) oldali ideáljának nevezzük, ha tetszőleges   és   elemekre   ( ) teljesül. Ha   az   bal oldali és egyben jobb oldali ideálja is, akkor  -ről azt mondjuk, hogy az   egy ideálja. Minden   félcsoportnak   egy bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja). Ha  -nek nincs önmagától különböző (azaz valódi) bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja), akkor az   félcsoportot bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű) félcsoportnak nevezzük.

Kitüntetett elemek félcsoportbanSzerkesztés

Azt mondjuk, hogy egy   félcsoport   eleme a félcsoport bal (jobb) oldali egységeleme, ha tetszőleges   elemre   ( ) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport egységelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali egységeleme is. Minden félcsoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Egy egységelemes félcsoportot monoidnak nevezünk.

Akkor mondjuk, hogy egy   egységelemes   félcsoport   eleme egy   elem bal (jobb) oldali inverze, ha   ( ). A   elemet az   elem inverzének nevezzük, ha   az  -nak bal oldali és egyben jobb oldali inverze is. Egy monoid minden elemének legfeljebb egy inverze van.

Egy olyan monoidot, amelyben minden elemnek van inverze, csoportnak nevezünk.

Egy   félcsoport   eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport bal (jobb) oldali nulleleme, ha tetszőleges   elemre   ( ) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport nullelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali nullelem is.

Egy félcsoport   elemét idempotens elemnek nevezzük, ha  . Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elemek. Kötegen olyan félcsoportot értünk, melynek minden eleme idempotens elem. Egy kommutatív köteget félhálónak nevezünk.

Egy   félcsoport   eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport reguláris eleme, ha van  -nek olyan   eleme, melyre   teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem reguláris félcsoportnak nevezünk.

Egy   félcsoport   eleméről azt mondjuk, hogy egy   elem Neumann-féle inverze, ha   és  . Világos, hogy ha   Neumann-féle inverze  -nak, akkor   Neumann-féle inverze  -nek (azaz   és   egymás Neumann-féle inverzei). Könnyen ellenőrizhető, hogy ha   egy   félcsoport reguláris eleme úgy, hogy  , akkor   és   egymás Neumann-féle inverzei. Ha egy reguláris félcsoportban minden elemnek pontosan egy Neumann-féle inverze van, akkor a félcsoportot inverz félcsoportnak nevezzük.

Példák félcsoportokraSzerkesztés

  • A természetes számok halmaza az összeadás művelettel.
  • A természetes számok halmaza a szorzás művelettel.
  • Tetszőleges   nem üres halmaz az   ( ) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem jobb oldali egységelem, és minden elem bal oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat balzéró félcsoportoknak nevezzük).   minden eleme idempotens elem, tehát   egy köteg.
  • Tetszőleges   nem üres halmaz az   ( ) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem bal oldali egységelem, és minden elem jobb oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat jobbzéró félcsoportoknak nevezzük).   minden eleme idempotens elem, tehát   egy köteg.
  • Tetszőleges   és   nem üres halmazok esetén az   Descartes szorzat, ahol a művelet a következőképpen van értelmezve  . Ez a félcsoport egy speciális köteg; az ilyen félcsoportot derékszögű kötegnek nevezzük.
  • Tetszőleges nem üres   halmaz összes önmagába való egyértelmű leképezéseinek (azaz transzformációinak)   halmaza, ahol a művelet a leképezések szokásos kompozíciója. Ezt a félcsoportot az   halmaz feletti teljes transzformációfélcsoportnak nevezzük.

TulajdonságokSzerkesztés

  • Minden félcsoport izomorf egy teljes transzformációfélcsoport valamely részfélcsoportjával.
  • Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali egységeleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali egységeleme, egyetlen bal oldali egységeleme, s így egyetlen egységeleme.
  • Egy   félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha a művelet invertálható, azaz tetszőleges   elemekhez megadhatók olan   elemek, melyekre   és   teljesülnek.
  • Egy   félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy   bal oldali egységeleme és   minden   elemének van  -re vonatkozó bal oldali inverze, azaz létezik olyan   elem, melyre   teljesül.
  • Érvényes az előző tétel duálisa, azaz egy   félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy   jobb oldali egységeleme és   minden   elemének van  -re vonatkozó jobb oldali inverze, azaz létezik olyan   elem, melyre   teljesül.
  • Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali nulleleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali nulleme, egyetlen bal oldali nulleleme, s így egyetlen nulleleme.
  • Ha   egy   félcsoport reguláris eleme úgy, hogy   teljesül valmely   elemre, akkor az   és   elemek a félcsoport idempotens elemei.
  • Egy reguláris félcsoport akkor és csak akkor inverz félcsoport, ha idempotens elemei felcserélhetők egymással, azaz   teljesül a félcsoport tetszőleges   és   idempotens elemeire.
  • Egy köteg akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha tetszőleges   és   elemeire   teljesül.
  • Egy félcsoport akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha izomorf egy balzéró félcsoportnak és egy jobbzéró félcsoportnak a direkt szorzatával.
  • Egy   félcsoport akkor és csak akkor bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű), ha tetszőleges   elem esetén   ( ,  ) teljesül.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

HivatkozásokSzerkesztés

  • A.H. Clifford and G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., I (1961), II (1967)
  • A. Nagy, Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001
  • Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

ForrásokSzerkesztés