A forszolás (forcing) mint a relatív ellentmondás-mentesség és függetlenség bizonyítására alkalmas módszer, a modern matematika történetének egyik legújabb nagy eredménye. A módszer halmazelméleti kidolgozója Paul Cohen, aki a forszolással sikeresen bizonyította a kontinuumhipotézis függetlenségét. A másik jelentős eredmény, amit Cohen maga bizonyított a forszolás segítségével, a kiválasztási axióma függetlensége a Zermelo–Fraenkel axiómarendszertől.

A halmazelmélet modellje vagy a teljes , vagy annak egy nagy, de véges részhalmazának modellje. A modell tranzitív, hogyha , akkor . A forszolás alapgondolata, hogy a halmazelmélet egy tranzitív modelljét (the ground model) úgy bővítjük, hogy hozzáveszünk egy új G halmazt (a generic set), hogy ezáltal a halmazelméletnek egy tágabb tranzitív modelljéhez jussunk M[G], amit eztán bővebb modellnek (generic extension) nevezünk. A G halmaz közelítése az alapmodellben meghatározott forszolási feltételek által történik, s e feltételek megfelelő kiválasztása meghatározza, hogy mi igaz a bővebb modellben.[1]

A módszer 1963-as bevezetése óta a forszolást számos esetben alkalmazták, sőt, (bizonyos továbbfejlesztéseknek köszönhetően) meghatározó szerepe lett a modellmódszeres relatív ellentmondás-mentességi bizonyítások körében. A leíró halmazelmélet mind a rekurzióelméletben, mind a halmazelméletben használja a forszolás jelölésrendszerét. A modellelméletben általában közvetlenül definiálják az általánosságot a forszolás említés nélkül.

Intuitív megközelítésSzerkesztés

Maga a forszolás ekvivalens a Bool-értékű modellalkotással, ami természetesebben és intuitívabban hat, de nehezebb megvalósítani.

Legyen az univerzum  . A forszolás ezt kibővíti egy nagyobb   univerzummá. Ebben az új univerzumban számos   halmaz lehet, amelyek nem voltak meg a régi univerzumban, így megsérthetik a kontinuumhipotézist. Ez a Cantor-paradoxon megfogalmazása a végtelenről. Elméletben vehetjük ezt is:

 ,

ahol azonosítjuk az   elemeket az   elemekkel. Az   halmazok számára új eleme relációt vezetünk be. A forszolás ennek továbbfejlesztett változata, ami a kiterjesztésben egyetlen új halmaz meglétét bizonyítja, és részletesen szabályozhatóvá teszi az új univerzum tulajdonságait.

Cohen eredeti módszere, az elágazó forszolás lényegesen különbözik az itt ismertetett nem elágazó forszolással.

Forszoló posetekSzerkesztés

Egy forszoló poset egy   rendezett hármas, ahol   kvázirendezés a   halmazon, ami eleget tesz a következő hasító feltételnek:

Minden   elemhez van  , hogy   úgy, hogy nincs  , hogy  .   legnagyobb eleme  , azaz   minden   elemre.   elemei forszolási állapotok, vagy röviden állapotok. A   relációt úgy mondjuk, hogy   erősebb, mint  . Intuitívan, a kisebb halmaz több információt nyújt, például a   több információt a pi számról, mint a  

Emellett egyes szerzők más konvenciókat is feltételeznek, például kikötik, hogy   antiszimmetrikus legyen, tehát részbenrendezésről van szó. Mások eleve a részbenrendezést követelik meg, szemben a többségi terminológiával, ami kvázirendezést ír elő. A másik irányú rendezést is használják, különösen Saharon Shelah és társai.

-nevekSzerkesztés

A   forszoló posethez asszociáljuk (kapcsoljuk) a -nevek   osztályát. Az A halmaz  -név, ha

 

Ez egy transzfinit rekurziót is magába foglaló definíció. Pontosabban, a transzfinit rekurziót először a következő hierarchia definiálására használják:

 

Ekkor a  -nevek osztálya definiálható, mint:

 

A   nevek valójában a Neumann-univerzum kiterjesztései. Ha   adott, akkor   a  -neve:

 

Ez szintén egy transzfinit rekurzióval megadott definíció.

ÉrtelmezésSzerkesztés

Bármely adott   része   halmazra definiáljuk az értelmezés vagy kiértékelés leképezést a  -nevek halmazából:

 

Ez újra egy transzfinit rekurzióval megadott definíció. Jegyezzük meg, hogy ha  , akkor  . Most

 

úgyhogy  .

PéldaSzerkesztés

A forszoló halmazra jó példa a  , ahol   és   az   Borel-halmazai közül azok, amelyeknek nem nulla a Lebesgue-mértéke. Ekkor beszélhetünk a feltételekről, mint valószínűségekről, és egy  -név valószínűségi értelemben jelent tagságot. A valószínűségszámítási nyelvezetet más forszoló posetek esetén is használják.

Megszámlálható tranzitív modellek és generikus szűrőkSzerkesztés

Adott    -univerzum esetén a forszolás kulcslépése az, hogy találjunk egy alkalmas   objektumot, ami nem eleme  -nek. A  -nevek összes értelmezésének eredményként kapott osztályáról belátjuk, hogy a   modellje, és valódi bővítése  -nek, mivel  .

Ahelyett, hogy  -vel foglalkoznánk, egy   megszámlálható és tranzitív modellt veszünk, hogy  . A Mostowski-féle suvasztási lemma szerint a tranzitivitás feltehető a modellben, ha az eleme reláció jóldefiniált. A tranzitivitás miatt az eleme és a többi elemi reláció intuitívan kezelhető. A megszámlálhatósági követelmény a Löwenheim-Skolem-tétel miatt kell.

A Russel-paradoxon miatt, mivel   halmaz, azért van olyan halmaz, ami nem eleme  -nek. A   halmaz szűrő, ha nem eleme  -nek, és:

  •  ;
  •  ;
  • ha  , akkor  ;
  • ha  , akkor van   hogy  .

A generikusság a következőt jelenti:

  • Ha   sűrű  -ben (azaz minden  -hez van   úgy, hogy  ), akkor  .

A   generikus szűrő létezése következik a Rasiowa-Sikorski-lemmából. Valójában több is igaz: adott   állapot esetén, van   hogy  . A hasítási állapot miatt, ha   szűrő, akkor   sűrű. Ha  , akkor  , mivel     modellje. Emiatt generikus szűrő nem lehet  -ben.

Az eljárásSzerkesztés

Adott   esetén a forszolás így működik: Az  -nevek halmazát  -ben   jelöli. Legyen  .   halmazelméletének   halmazelméletére való redukálásához az elsőrendű logikán alapuló forszoló nyelvet használjuk, ahol az eleme egy bináris reláció, és a  -nevek konstansok.

Definiáljuk a   relációt (kiolvasva:   forszolja  -t az   modellben a   posettel), ahol   állapot,   a forszoló nyelv formulája, és az  -k  -nevek. Vagyis ha   generikus szűrő, ami tartalmazza  -t, akkor  . Az   speciális esetet úgy is írják, mint  ” vagy egyszerűen “ . Az ilyen állítások igazak  -ben, függetlenül attól, hogy mi   .

Fontos megjegyezni, hogy a   forszoló relációnak ez a külső definíciója megegyezik az  -en vett belső definícióval. Ezt az   és    -neveinek halmazán végzett transzfinit indukcióval határozzuk meg, és utána a formulák bonyolultsága szerint végzett teljes indukcióval. Ennek következtében   tulajdonságai  -nek is tulajdonságai, innen egyenesen következik   teljesülése  -ben. Ezt rendszerint a következő tulajdonságokkal jellemzik:

  • Igazság:   akkor és csak akkor ha   forszolja, vagyis bizonyos   állapotra teljesül  .
  • Definiálhatóság: Az “ ” állítás definiálható  -ben.
  • Koherencia: Ha   és  , akkor  .

Definiáljuk a   forszoló relációt  -ben a formulák bonyolultsága szerint, először az atomi formulákra az  -indukció szerint, utána bárely formulára:

1.   akkor és csak akkor, ha  .

2.   akkor és csak akkor, ha  .

3.   akkor és csak akkor, ha  .

4.   akkor és csak akkor, ha  .

5.   akkor és csak akkor, ha  .

Ellentmondás-mentességSzerkesztés

A fenti diszkusszió eredménye összegezhető fundamentális ellentmondás-mentességi eredményként, azaz adott   forszoló poset mellett feltehetjük a   generikus szűrő létezését, ami nem eleme a   univerzumnak, így   szintén halmazelméleti modell a  -axiómákra. Továbbá   igazságai a forszoló reláció szerint redukálhatók   igazságaira.

Gyakran használt módszer   hozzávétele akár az   modellhez, akár a   univerzumhoz. Ritkábban találkozhatunk a forszolás belső megközelítésével, ahol nincsenek megemlítve halmaz vagy osztály modellek. Ez volt Cohen eredeti módszere, és egy másik irányú továbbfejlesztéséből alakították ki a Boole-értékű analízist.

Cohen-forszolásSzerkesztés

A legegyszerűbb nem triviális forszoló poset a  , ami a véges parciális függvények halmazát jelöli  -ból   a visszafelé beágyazás alatt. Így egy   állapothoz két véges részhalmaz tartozik  -ban, a   és a  , amelyekre gondolhatunk úgy, mint az igen és a nem részekre. Nem nyújtqanak információt a  -n kívüli értékekre. A   erősebb, mint   állítás azt jelenti, hogy  , más szavakkal,   igen és nem halmazai tartalmazzák   megfelelő részhalmazát, így több információt nyújtanak.

Legyen   generikus szűrő ehhez a posethez! Ekkor, ha   és   eleme  -nek, akkor   állapot, mivel   szűrő. Ez azt jelenti, hogy   jóldefiniált parciális függvény  -ból  -be, mivel  -ben bármely két állapot megegyezik közös tartományukon.

Valójában   totális függvény. Adott   elemre legyen  . Ekkor   sűrű, ugyanis bármely adott   esetén, ha   nincs benne   tartományában, akkor egyesítünk egy értéket  -nel, az eredmény  -beli. Egy   állapot tartománya tartalmazza  -et, és mivel  , azért   definiálva van.

Legyen  , az általános állapotok igen halmaza; ekkor közvetlenül el lehet nevezni  -et. Legyen  . Ekkor  . Most tegyük fel, hogy    -ben. Most azt állítjuk, hogy  . Legyen  . Ekkor   sűrű; ez az előző bekezdésben leírtak szerint látható be. Ekkor bármely   tanú arra, hogy  . Összegezve,   egy új részhalmaza  -nak, és szükségképpen végtelen.

Helyettesítsünk  -ba  -t! Ezzel a véges parciális függvények közül vesszük azokat, amelyek az   párokon vannak értelmezve, ahol   és  ; értékük pedig   vagy  . Ezzel   új részhalmaz adódik  -ban. Mindegyikük különböző a sűrűségi érv miatt: Adott   esetén legyen  , ekkor a fenti érveléshez hasonlóan   sűrű, és egy általános állapot bioztosítja, hogy az  -adik és a  -adik új halmaz különböző.

Ez azonban még nem cáfolja a kontinuumhipotézist. Először azt kell belátni, hogy nem keletkeztek új leképezések, amelyek teljes  -t  -re képezik, vagy teljes  -et  -re. Például, ha   helyett az első nem megszámlálható rendszámot vesszük, akkor  -ben bijekciót kapunk   és   között. Más szóval, suvasztottuk  -et, és a forszoló kiterjesztésben már megszámlálható rendszám.

A kontinuumhipotézis függetlenségének megmutatásához vezető utolsó lépés annak megmutatása, hogy Cohen-forszolással nem lehet suvasztani kardinális számokat. Ehhez elégséges az a kombinatorikai tulajdonság, hogy ennek a posetnek az összes antilánca megszámlálható.

A megszámlálható lánc feltételeSzerkesztés

A   egy   antilánca egy olyan részhalmaz, aminek elemeire teljesül, hogy valahányszor  , mindannyiszor  , vagyis nem kompatibilisek. Azaz nincs   a   halmazban, hogy   és  . Borel-halmazokon ez azt jelenti, hogy   mértéke nulla. A véges parciális függvények körében   nem függvény, azaz van legalább egy elem, amihez különböző értéket rendelnek.

  megfelel a megszámlálható lánc feltételnek, ha minden  -beli antilánc megszámlálható. Ez az elnevezés régebbi terminológiára vezethető vissza.

Könnyen belátható, hogy   megfelel a megszámlálható lánc feltételnek, mivel a mértékek összege legfeljebb  . Továbbá   is teljesíti a feltételt, de ezt már bonyolultabb belátni.

Adott   megszámlálható részcsalád esetén zsugorítsuk  -t a   n elemet tartalmazó halmazok megszámlálhatatlan részcsaládjára, Ezt ismételjük addig, amíg nem jutunk egy véges   halmazhoz és egy   megszámlálhatatlan halmazcsaládhoz, továbbá   kompatibilis állapothoz, hogy minden   eleme  -nek legfeljebb   esetén. Most válasszunk tetszőleges   elemet, és válasszunk hozzá   elemet, amelynek értelmezési tartomány diszjunkt p-től. Ekkor   és   össuzehasonblíthatók, tehát   nem antilánc. Más szóval, csak megszámlálható sok  -antilánc van.

A forszolásban az antiláncok több szempontból is fontosak, mivel többnyire a sűrű halmazok és a maximális antiláncok ekvivalensek. Egy   antilánc maximális akkor, ha nem bővíthető nagyobb antilánccá. Ez azt jelenti, hogy minden   elem kompatibilis   valamelyik elemével. A maximális antilánc létezése következik a Zorn-lemmából. Adott   antilánc esetén legyen  . Ekkor   sűrű, és   akkor és csak akkor, ha  . Megfordítva, ha   sűrű, akkor a Zorn-lemma miatt van   antilánc, így   akkor és csak akkor, ha  .

Tegyük fel, hogy   megfelel a megszámlálható lánc feltételnek. Adott   esetén, ha   függvvény  -ben, akkor approximáljuk  -et  -ben a következőképpen: Legyen   egy név az   számára, és legyen  állapot, ami forszolja, hogy   függvény legyen  -ből  -ba. Legyen az    -en értelmezett függvény olyan, hogy  . A forszolás definíciója miatt ez egész  -n értelmes. A forszolás definíciója miatt a különböző  -k nem kompatibilis  -kből származnak. A megszámlálható lánc feltétele miatt   megszámlálható.

Összegezve,   nem ismert  -ben, mivel  -től függ, azonban nem ismeretlen a megszámlálható lánc feltétel forszolás számára. Azonosíthatunk egy megszámlálható halmazt  -hez, ami segít   ismerete nélkül is meghatározni   értékét,  -től függetlenül.

Ennek a következő érdekes következménye adódik. Ha  -ben az   függvény szürjektív az egyik végtelen rendszámról egy másikba, akkor van szürjektív    -n, és szürjektív    -ben. Tehát a rendszámok nem suvaszthatók, és    -ben.

Easton-forszolásSzerkesztés

A kontinuum pontos értékének meghatározása a fenti Cohen-modellben és változataiban, mint   a   rendszámokra Robert M. Solovay műve, aki a   megsértésével is foglalkozott. Ezt csak reguláris rendszámokra dolgozta ki. Például, ha a Cohen-modellben   teljesül  -n, akkor   teljesül  -ben.

William B. Easton valódi osztály verziót dolgozott ki a   megsértéséhez reguláris rendszámok esetén, alapvetően azzal, hogy megmutatta, az ismert korlátozások, mint a monotonitás, a Cantor-tétel, és a König-tétel csak a   feltevésével bizonyíthatók.

Easton eredménye fontos volt abban, hogy a forszolást valódi állapotosztállyal végezte. Általában ezen a módon nem lehet modellezni a  -et. Például a   osztállyal végzett forszolás, ahol   az összes rendszám valódi osztálya, a kontinuumot valódi osztállyá teszi. Ezzel szemben a   osztállyal forszolva a rendszámok megszámlálható felsorolásához jutunk. A   egyik esetben sem modellje  -nek.

Egy időben úgy gondolták, hogy van a forszolásnak egy finomított változata, ami lehetővé teszi a szinguláris rendszámok hatványainak tetszőleges megváltoztatását. Azonban kiderült, hogy ez egy nehéz, sok szálú probléma, ami meglepetésekkel is szolgál, a PCF elmélet mélyebb ismeretét igényli a  -ben, és forszoló modelleket, amelyek a nagy kardinálisok különböző tulajdonságainak ellentmondás-mentességétől függenek. Sok kérdés megválaszolatlan marad.

Véletlen valósokSzerkesztés

A Borel-halmazok   algebrájában a generikus szűrő egy   valós számhoz tart, amit véletlen valósnak neveznek. Az   szám végtelen tizedestört kifejtése megadható, mint  . Így bizonyos értelemben   alneve.

Az   számból visszakaphatjuk  -t, ha vesszük az    -t tartalmazó Borel-részhalmazait. Mivel a forszoló poset benne van  -ben, de   nincs benne, ez a tartalmazás lehetetlen. Ezzel szemben természetes értelemben például a    -ben tartalmaz egy véletlen valóst, aminek a tizedes kifejtése úgy kezdődik, mint  . Ez formalizálható a Borel-kóddal.

Minden Borel-halmaz megkapható kiindulva azokból az intervallumokból, amelyeknek mindkét végpontja racionális, és megszámlálható sokszor alkalmazva a komplementer és a megszámlálható unió műveletét. Egy ilyen konstrukció feljegyezve Borel-kód. Ha   Borel-halmaz  -ben, akkor megtalálva ennek egy Borel-kódját alkalmazhatjuk ugyanezt a konstrukciót  -ben is, ezzel a   Borel-halmazhoz juthatunk. Bizonyítható, hogy az eredeti halmaz bármelyik konstrukciójával ugyanazt a   halmazt kapjunk, továbbá megőrződnek a részhalmaza relációk is, tehát ha  , akkor  . Továbbá, ha   nullmértékű, akkor   is nullmértékű.

Így, ha   véletlen valós, akkor megmutatható, hogy  . Az   és a   kapcsolatát úgy fejezhetjük ki, hogy   helyett  -t írunk.

Dana Scott másként értelmezte a valósokat  -ben. A racionális számok nevei megszámlálható sok különböző racionális számhoz tartoznak, amelyek maximális antiláncnak felelnek meg a Borel-halmazokon. Más szóval, ez egy valós értékű függvény  -en. A   valósai az ilyen függvények Dedekind-szeleteinek feleltethetők meg, azaz mérhető függvények.

Boole-értékű modellekSzerkesztés

Boole-értékű modellekkel is bemutatható a módszer. Itt minden állításnak igazságértéke van, ahol az igazságértékek egy atomok nélküli teljes Boole-algebrát alkotnak. Ebben a Boole-algebrában választunk ultraszűrőt, ami igaz-hamis értékeket rendel az elmélet állításaihoz. Végeredményként a modell ultraszűrőt tartalmaz, ami új modellként fogható fel, amit a régiből az ultrafilterrel való bővítéssel kapunk. Megfelelő tulajdonságú modellből kiindulva egy megfelelő tulajdonságú modell nyerhető az ultraszűrő hozzávételével. Ebben csak az igaz, aminek igaznak kell lennie, amelyek forszolva vannak arra, hogy igazak legyenek.

Metamatematikai fejtegetésSzerkesztés

A forszolást arra szokás használni, hogy egy állítás nem mond-e ellent a   axiómarendszernek, vagy annak egy kiterjesztésének. Ennek egy módja, hogy a   ellentmondásmentes, és hozzávéve az állítást belátjuk, hogy az új rendszer is ellentmondás-mentes.

Minden állapot véges mennyiségű információt tárol. Emögött az áll, hogy csak a véges információk érdekesek az ellentmondás-mentesség bizonyításához, hiszen egy elmélet kielégíthető akkor és csak akkor, ha minden véges részhalmaza kielégíthető. Ezekből azonban végtelen sokat választhatunk a modellhez; hogyha ezek is ellentmondás-mentesek, akkor   és egy végtelen bővítésének ellentmondás-mentességét látjuk be.

Logikai kifejtésSzerkesztés

Gödel második nemteljességi tétele miatt egy elég erős formális elmélet ellentmondás-mentessége nem bizonyítható a saját axiómáival. Éppen ezért csak relatív ellentmondás-mentesség bizonyítható, azaz feltéve, hogy az eredeti rendszer, például   ellentmondás-mentes. Például, ha hozzávesszük  -hez a H hipotézist, akkor H vagy   ellentmondás-mentessége helyett csak azt láthatjuk be,hogy ha   ellentmondás-mentes, akkor   is ellentmondás-mentes. Valójában azt bizonyítjuk, hogy

(*)  

Egy általánosabb séma a relatív ellentmondás-mentesség bizonyítására. Mivel egy bizonyítás véges sok lépést tartalmaz, azért véges sok axiómát használ:

 

Bármely adott bizonyítás esetén   igazolhatja a bizonyítás érvényességét. Ezt a bizonyítás hossza szerinti teljes indukcióval láthatjuk be.

 

Most azt kapjuk, hogy

 

Ha belátjuk, hogy

(**)  ,

akkor következik

 ,

ekvivalensen

 ,

amiből visszajutunk (*)-hoz. A relatív ellentmondás-mentesség belátásához elég bizonyítani (**)-ot. Először  -bizonyítást kell használni  -ra, ami bizonyítja  -t a   minden véges   részhalmazára. Ez azonban nem általános bizonyítás.

 -ben bizonyítható, hogy bármely   állapot esetén a   által forszolt, nevek szerint kiértékelt formulák halmaza deduktívan zárt. Továbbá, a   bármely axiómájára következik  -ből bizonyítható, hogy   forszolja. Most már elegendő találni egy állapotot, ami forszolja  .-t.

A Boole-értékű forszolás hasonlóan működik. Itt azt kell belátni, hogy   Boole-értéke nem  .

Egy másik megközelítés a reflexiótételt használja. A   -axiómák bármely adott véges részhalmazára van  -bizonyítás, hogy ennek a véges axiómahalmaznak van megszámlálható tranzitív modellje. A   axiómák minden véges   halmazához van a  -axiómáknak egy véges   halmaza, hogy   bizonyítja, hogy ha egy megszámlálható   modell eleget tesz  -nek, akkor   eleget tesz  -nek. Először be kell látni, hogy  -axiómáknak van véges   halmaza, hogy ha egy   megszámlálható tranzitív modell megfelel  -nek, akkor   megfelel a   hipotézisnek. Ekkor a  -axiómák bármely adott véges   halmazára   bizonyítja  -t.

Néha a (**)-ban egy  -nél erősebb   elméletet használnak   bizonyítására. Ekkor már tudunk egy bizonyítást  -ra, relatívan   ellentmondás-mentességére. Jegyezzük meg, hogy  , ahol   a  , a konstruálhatóság axiómája.

ElőzményekSzerkesztés

CantorSzerkesztés

Georg Cantor 1870-es évekbeli munkásságához szokás kötni a halmazelmélet megszületését. Egy 1873-as cikkében leírja, hogy a pozitív egészek és a racionális számok párba állíthatóak, azaz van közöttük kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, mai szóhasználattal: a racionális számok halmaza megszámlálható.

1874-es eredménye, hogy a valós számok (melyeknek egy lehetséges definícióját is ő adta meg korábban) többen vannak: bárhogy is próbálnánk őket a pozitív egészekkel megfeleltetni, mindig maradna ki valós szám (ehhez a bizonyításhoz használta először az ún. átlós módszert, mely azonkívül, hogy a matematika szinte minden ágában van alkalmazása, a matematikai bizonyítások egyik legszebbike).

Magát a végtelen halmaz fogalmát is ő definiálta először: olyan halmaz, mely párba állítható egy valódi részhalmazával, tehát olyan részével, mely nem tartalmazza minden elemét. (A pozitív egészek esetében, ha minden ilyet kettővel beszorzunk, akkor a páros számokkal állítjuk őket párba, s valóban: van páratlan szám, tehát olyan, ami ilyenkor kimarad.)

Cantor híres, általa meg nem oldott problémája, a kontinuum-hipotézis. Cantor átlós módszere mutatja, hogy egy halmaz hatványhalmaza (részhalmazainak halmaza) mindig nagyobb az eredetinél, azaz nem lehet őket párba állítani. A kérdés az, vajon van-e olyan halmaz, amelyik nagyobb a természetes számoknál, de kisebb a hatványhalmazánál (amiket könnyen megfeleltethetünk a valós számoknak, amelyek segítségével „folytonosan” lerajzolhatjuk a számegyenest, innen a kontinuum elnevezés).

GödelSzerkesztés

Kurt Gödelnek több olyan eredményt sikerült bizonyítania, amelyekkel külön-külön is beírta volna magát a matematika történetébe.

Teljességi tételében azt bizonyítja, hogy bizonyos speciális esetben, egy elméletből (állítások egy halmazából) levezethető formulák megegyeznek az elmélet következményeivel, azaz ami igaz, azt be is lehet bizonyítani.

1931-es, illetve 38-as eredményei, a nemteljességi tételek azonban pont azt fogalmazzák meg, hogy a teljességi tételben leírtak jelentik a ritka kivételt, azaz ha egy elmélet nem túl „egyszerű” (például már a pozitív egészek összeadására és szorzására vonatkozó alapformulák is ilyenek), akkor mindig lesz olyan következménye, ami nem bizonyítható be az elméletből. Ilyen állítás lesz például, hogy maga az elmélet konzisztens, azaz van halmazmodellje. Van tehát olyan állítás, ami hiába igaz, mégsem lehet bebizonyítani, sőt, arról sem lehetünk meggyőződve, hogy az elméletünk nem vezet ellentmondásra. Ha ugyanis van ellentmondás azt előbb-utóbb megtalálja valaki, ha viszont nincs, azt nem lehet bebizonyítani.

Relatív ellentmondás-mentesség bizonyítása modellmódszerrelSzerkesztés

Gödel munkássága nyomán ismeretes, hogy egy elmélet elletmondástalansága azt jelenteni, hogy van az elméletnek halmazmodellje. Ilyen létezését azonban nem tudjuk garantálni a második nemteljességi tétel miatt. Ha azonban feltesszük egy modell létezését, abból definiálhatunk egy másikat, így mutatva meg, hogy ha az egyik elmélet ellentmondástalan, akkor a másik is az kell, hogy legyen. Gödel a Zermelo-Fraenkel axiómarendszert teljesítő modellből kiindulva definiálta az ún. konstruálható halmazok L-lel jelölt modelljét, amelyben a következő dolgok teljesülnek: egyrészt itt igaz Cantor kontinuum-hipotézise, sőt, minden végtelen halmazra igaz, hogy nincs olyan halmaz, ami nála nagyobb, de a hatványhalmazánál kisebb. Másrészt teljesül az ún. kiválasztási axióma. Az első állítás érthetően nagy előrelépésnek számított; a halmazelmélet egyik alapkérdését ha nem is sikerült belátni, de legalább az kiderült, hogy ha nincs ellentmondás az elfogadott axiómarendszerben, akkor úgy sincs, ha a sejtést felvesszük az axiómáink közé, azaz azt sikerült bebizonyítani, hogy az ellenkezőjét nem lehet bizonyítani.

Gödel tétele és Cohen forszolási módszerének megszületése között eltelt 30 év, de a matematikusok előtt csak „néhány” modell volt ismeretes, s azok is jórészt Gödelnek köszönhetően. Így a modellmódszeres (relatív) konzisztencia bizonyítások csak ezek tanulmányozására szorítkozhattak. A forszolással azonban új perspektívák nyíltak meg: egy modellből kiindulva modellek sokaságát lehet gyártani, s ami még fontosabb, olyan módon, hogy közben befolyásolható, hogy mi legyen igaz az új modellben és mi ne.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Jech

Lásd mégSzerkesztés

IrodalomSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Forcing (mathematics) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Külső hivatkozásokSzerkesztés