Gyújtópont

geometriában fixpont

A geometriában a gyújtópont vagy fókuszpont olyan speciális pontok, melyekre hivatkozva különféle görbéket lehet létrehozni. például egy vagy két gyújtóponttal létre lehet hozni különböző kúpszeleteket, melyek négy formája a kör, az ellipszis, a hiperbola és a parabola. Ezen kívül két fókuszponttal meg lehet alkotni a cassini-görbét és a Descartes-görbét is. Kettőnél több fókuszpontot használva megalkothatók az n-elipszisek.

Az F pont a vörös ellipszis, a zöld parabola és a zöld hiperbola közös fókuszpontja.

KúpszeletekSzerkesztés

Kúp meghatározása két gyújtóponttalSzerkesztés

 
Egy ellipszis lila keresztekkel jelölt gyújtópontjai a vörös nagytengely és a cián színű kör metszéspontjai, melynek sugara egyenlő a nagytengely felével (kék), s melynek középpontja az egyik kistengely végpontjában van.

Az ellipszis azon mértani pontok összességeként létrejött [[alakzat (geoometria)|alakzat, melynek két gyújtóponttól mért távolságának összege állandó.

A kör az ellipszis egy speciális esete, mikor a két fókuszpont ugyanott van. Így a kör olyan alakzatként is meghatározható, melynél minden pont egy előre meghatározott, fix távolságra van a fókuszponttól. Apollóniusz körei úgy is meghatározhatók, mint olyan pontok halmaza, melyeknek két gyújtóponttól mért távolságának az aránya álandó.

A parabola az ellipszis olyan speciális esete, mikor az egyik gyújtópont a végtelenben van.

A hiperbolát úgy lehet definiálni, mint azon pontok halmaza, melyeknél a két fúkuszponttól mért távolságának abszolút értéke állandó.

Kúpszelet meghatározása gyújtóponttal és vezéregyenesselSzerkesztés

Arra is lehetőség van, hogy a kúpszeleteket egy fókuszponttal és egy vezéregyenessel határozzunk meg. A vezéregyenes olyan egyenes, mely nem tartalmazza a gyújtópontot. A kúpszelet úgy is meghatározható, mint azon pontok halmaza, az általuk létrehozott alakzat, melynél a fókusztól vett távolságot a vezéregyenestől mért távolsággal osztva mindig fix pozitív számot kapunk, melyet excentricitásnak nevezünk és e-vel jelölünk. Ha e értéke nulla és egy között van, akkor a kúpszelet ellipszis, ha pontosan egy, akkor a kúpszelet parabola, ha pedig nagyobb min 1, akkor hiperbola. Ha a fókuszponttól mért távolság fix, a vezéregyenes pedig a végtelenbe tartó vonal, akkor az excentricitás nulla, a kúpszelet pedig kör.

Kúpszeletek meghatározása vezérkörrel és fókuszponttalSzerkesztés

Minden kúpszelet leírható olyan alakzatként, melyben minden pont egyenlő távolságra van egy gyújtóponttól és egy vezérkörtől. Az ellipszisnél a fókuszpontoknak és a vezérkör középpontjának is meghatározott koordinátái vannak, a vezérkör sugara pedig nagyobb, mint a kör középpontja és a fókuszpont közötti távolság, így a fókusz a vezérkörön belül helyezkedik el. Az így létrehozott ellipszis második gyújtópontja a vezérkör fókuszpontja, az ellipszis pedig teljes egészében a kör belsejében helyezkedik el.