Apollóniusz-kör

Az Apollóniusz-kör azoknak a pontoknak a mértani helye a síkban, amelyeknek két adott ponttól mért távolságainak aránya adott (1-től különböző) pozitív szám. Fontos szerepe van a bipoláris koordináta-rendszerekben. Felfedezője, Pergai Apollóniosz görög matematikus után nevezték el. Nem összekeverendő a szintén róla elnevezett Apollóniusz köreivel.

Apollóniusz-körök. A piros körök látókörök, minden egy félsíkbeli pontjukból az AB azonos szögben látszik (a félsíkot AB egyenes határozza meg). A kék körök olyan pontokból állnak, amelyeknek A-tól és B-től mért távolságainak aránya megegyezik. Minden kék kör derékszögben metsz minden piros kört.

DefinícióSzerkesztés

Az A és B ponthoz és a   számhoz tartozó Apollóniusz-kör azon P pontok halmaza, amelyekre   (ha  , akkor ez   felezőmerőlegese, ami tekinthető egy olyan körnek, aminek végtelen távol van a középpontja).

Annak bizonyítása, hogy a pontok kört alkotnakSzerkesztés

  • 1. lépés:

Legyen   egy olyan pont, amely nincs rajta   egyenesén, és amelyre  . Feltehetjük, hogy   (ekkor  ).   háromszögnek  -ből induló belső szögfelezője az   oldalt egy   pontban metszi, külső szögfelezője pedig   miatt  -nek  -ből induló meghosszabbítását metszi  -ben.

Segédtétel:

Ha egy háromszög egyik oldalának az egyenesét a szemközti csúcsból induló (belső vagy külső) szögfelezővel metsszük, akkor a metszéspontnak az oldal végpontjaitól mért távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint a szemközti csúcsból ehhez a végpontokhoz vezető oldalak.

Emiatt   és   a keresett mértani helyhez tartozik.

  • 2. lépés:

Be kell látni, hogy a mértani helyek minden   pontja ugyanezen a körön van, ehhez elég megmutatni, hogy az   egyenes pontjai közül csak   és   tartozik a mértani helyhez. A szögfelezők merőlegesek egymásra, ezért   a   távolság Thalész-körén van.   miatt elég, hogy sem az   szakaszon, sem a   félegyenesen nincs más, a mértani helyhez tartozó pont. Ha   az   távolságon   felé mozog, akkor az   arány nő. Ha   a   félegyenesen  -ből kiindulva mozog, akkor a   arány csökken, ugyanez a helyzet, ha   távolodik  -től. Más szóval   és   helyzete egyértelműen meghatározott, vagyis a keresett mértani hely minden pontja a   szakasz Thalész-körén van.

  • 3. lépés:

Be kell bizonyítani, hogy ennek a körnek minden pontja a mértani helyhez tartozik (  pontokról tudjuk ezt). Legyen   a körnek egy további pontja. Elég belátni, hogy   és   a   háromszög szögfelezői, ekkor  . Ehhez indirekt tegyük fel, hogy   háromszög szögfelezői   és  , ami nem azonos a   és   egyenesekkel.   és   választása miatt   és  . 1) miatt ez csak úgy lehet, ha vagy   tartalmazza   távolságot, vagy fordítva. Ekkor viszont   szög és   szög közül az egyik tartalmazza a másikat. Ezzel ellentmondáshoz jutottunk, mivel mindkét szög derékszög (Thalész-tétel vagy a szögfelezők merőlegessége miatt). Tehát   szögfelezők, ekkor   Thalész-körének minden pontja a mértani helyhez tartozik.

TulajdonságaiSzerkesztés

  • A λ arányhoz tartozó Apollóniusz-kör sugara  .
  • Ha egy Apollóniusz-körre vonatkozó inverzióban A és B egymásba megy át, akkor ebben az inverzióban az összes A-n és B-n átmenő kör önmagába megy át. Ezért minden ilyen kör merőlegesen metszi az összes Apollóniusz-kört.
  • Tekintsük most a K Apollóniusz-kört annak egy tetszőleges X pontjával, és az AXB szög szögfelezői által a K körből kimetszett T1 és T2 pontokkal. Jelölje továbbá λ a K-hoz tartozó arányt. Ekkor a harmonikus elválasztás kölcsönössége miatt az AB szakaszon átmenő kör a T1T2 szakasz Apollóniusz-köre lesz.
  • Az előző állítás jelöléseivel: a K kör éppen az a T1-en és T2-n átmenő kör, amire A és B inverz pontpárok.

Kapcsolat a projektív geometriávalSzerkesztés

A sík körei természetes módon megfeleltethetők a háromdimenziós projektív tér pontjainak. Ebben a megfeleltetésben a projektív egyenesek képei a körsorok. Speciálisan, az Apollóniusz-körök és a két ponton átmenő körök is egy-egy körsort alkotnak.

Például a (p,q) középpontú, r sugarú kör egyenlete:

 

átírható az

 

alakba, ahol α = 1, β = p, γ = q, and δ = p2 + q2 − r2. Ez a négy paraméter azonban csak egy skalár erejéig meghatározott, ugyanis ha végigszorozzuk őket egy nem nulla számmal, akkor ugyanazt a kört kapjuk. Így ezek az együtthatók a kör homogén koordinátáinak tekinthetők a körök háromdimenziós projektív terében.[1] Ha α = 0, akkor a kör egyenessé fajul el. Ha α ≠ 0, akkor visszajutunk a kör egyenletéhez a p = β/α, q = γ/α, és az r =√((−δ − β 2 − γ2)/α2) együtthatókkal. Itt előfordulhat, hogy a gyökjel alá egy nem pozitív szám kerül; ebben az esetben nullkört, vagy képzetes kört ír le az egyenlet.

Két kör, (α1111) és (α2222) affin kombinációja a :  négyest adja, ahol z szabadon változhat. Ez a két kör által generált körsor. Háromféle körsort különböztetünk meg a körsor generátorainak közös pontjainak száma szerint: az elliptikust, a parabolikust és a hiperbolikust.[2] Valójában a hiperbolikus körsor két pontkört és képzetes köröket is tartalmaz. A két pontkör a körsor Poncelet-pontjai. Az Apollóniusz-körök is ilyen körsort adnak. A koncentrikus körök hiperbolikus körsorának is két tartópontja van: a másik tartópont a végtelenben van. Az erre merőleges körök körsora a két tartópontot összekötő körök, valójában egyenesek körsora.

Inverzió és koordinátarendszerekSzerkesztés

Az inverziók a körsorokat körsorokba viszik, sőt a típusukat is megtartják, így elliptikus körsor képe elliptikus, parabolikus körsor képe parabolikus, hiperbolikus körsor képe hiperbolikus lesz.

Egy A közepű körre vonatkozó inverzió az Apollón-köröket B középpontú koncentrikus körökbe viszi. Ugyanez az inverzió az A-n és a B-n átmenő köröket a B-n átmenő egyenesekbe transzformálja. Így az Apollóniusz-körök által meghatározott két pólusú koordinátarendszer polárkoordinátarendszerbe megy át.

Általánosabban, minden körsorhoz van egy egyértelmű hozzá ortogonális körsor. Hiperbolikus körsor ortogonális körsora elliptikus, elliptikus körsor ortogonális körsora hiperbolikus, és parabolikus körsor ortogonális körsora parabolikus. A hiperbolikus körsor ortogonális körsora a Poncelet-pontjain átmenő körök alkotta körsor; elliptikus körsor ortogonális körsora a közös metszéspontok Apollóniusz-köreiből áll; parabolikus körsor ortogonális körsora a vele azonos érintési pontú, de merőleges tengelyű körsor.

ForrásokSzerkesztés

  1. (Pfeifer & Van Hook 1993).
  2. (Schwerdtfeger 1979, pp. 8–10).

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kreis des Apollonios című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként. Ez a szócikk részben vagy egészben az Apollonian circles című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.