Hardy–Ramanujan-tétel

A Hardy–Ramanujan-tétel azt állítja, hogy valamely n szám egymástól különböző prímtényezői ω(n) számának átlagos nagyságrendje log log n, a közelítés jellemző hibája ${\sqrt {\log \log n}}$. Más szavakkal ez azt jelenti, hogy a legtöbb számnak log log n számú különböző prímtényezője van. A tételt G. H. Hardy (1877–1947) angol matematikusról és Srínivásza Rámánudzsan (1887–1920) indiai matematikusról nevezték el.

Egy pontosabb verzióban: bármely valós értékű függvény ψ(n) a végtelenbe tart, ha n tart a végtelenbe:

$|\omega (n)-\log(\log(n))|<\psi (n){\sqrt {\log(\log(n))}}$

vagy másként kifejezve:

$|\omega (n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }$

ez érvényes majdnem az összes egész számra.

Erre az eredményre Turán Pál (1910 -1976) magyar matematikus, egy egyszerű bizonyítást adott.

Ezt a tételt általánosította az Erdős–Kac-tétel, mely megmutatta, hogy a különböző prímtényezők normális eloszlásúak.

Irodalom

• Hardy, G. H.; Ramanujan, S: The normal number of prime factors of a number. (hely nélkül): Quarterly Journal of Mathematics 48. 1917. 76–92. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• Srínivásza Rámánudzsan
• Godfrey Harold Hardy
• Prímszámok
• Prímszámok listája

• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• http://mathworld.wolfram.com/Erdos-KacTheorem.html
• http://www.renyi.hu/~p_erdos/1940-12.pdf
• Erdős-szám
• Prímszám-tételek