Főmenü megnyitása

A matematika, azon belül a számelmélet területén egy k-hipertökéletes szám (hyperperfect number) olyan n természetes szám, amire fennáll az n = 1 + k(σ(n) − n − 1) egyenlőség – σ(n) az osztóösszeg-függvényt (azaz n összes pozitív osztóját) jelöli. Általánosságban egy szám akkor hipertökéletes, ha valamely pozitív egész k-ra k-hipertökéletes. A hipertökéletes számok a tökéletes számok általánosításai, melyek ebben a felírásban 1-hipertökéletesek.

A k-hipertökéletes számok sorozatának első néhány eleme: 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041... (A034897 sorozat az OEIS-ben), a hozzájuk tartozó k értékek pedig: 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, 18, 18, 12... (A034898 sorozat az OEIS-ben). Az első néhány k-hipertökéletes, de nem tökéletes szám pedig: 21, 301, 325, 697, 1333, ... (A007592 sorozat az OEIS-ben).

Hipertökéletes számok listájaSzerkesztés

A következő táblázat listázza az első néhány k-hipertökéletes számot néhány k értékre, az OEIS-sorozatszámukkal együtt:

k OEIS Néhány ismert k-hipertökéletes szám
1  A000396 6, 28, 496, 8128, 33550336, ...
2  A007593 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ...
3   325, ...
4   1950625, 1220640625, ...
6  A028499 301, 16513, 60110701, 1977225901, ...
10   159841, ...
11   10693, ...
12  A028500 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ...
18  A028501 1333, 1909, 2469601, 893748277, ...
19   51301, ...
30   3901, 28600321, ...
31   214273, ...
35   306181, ...
40   115788961, ...
48   26977, 9560844577, ...
59   1433701, ...
60   24601, ...
66   296341, ...
75   2924101, ...
78   486877, ...
91   5199013, ...
100   10509080401, ...
108   275833, ...
126   12161963773, ...
132   96361, 130153, 495529, ...
136   156276648817, ...
138   46727970517, 51886178401, ...
140   1118457481, ...
168   250321, ...
174   7744461466717, ...
180   12211188308281, ...
190   1167773821, ...
192   163201, 137008036993, ...
198   1564317613, ...
206   626946794653, 54114833564509, ...
222   348231627849277, ...
228   391854937, 102744892633, 3710434289467, ...
252   389593, 1218260233, ...
276   72315968283289, ...
282   8898807853477, ...
296   444574821937, ...
342   542413, 26199602893, ...
348   66239465233897, ...
350   140460782701, ...
360   23911458481, ...
366   808861, ...
372   2469439417, ...
396   8432772615433, ...
402   8942902453, 813535908179653, ...
408   1238906223697, ...
414   8062678298557, ...
430   124528653669661, ...
438   6287557453, ...
480   1324790832961, ...
522   723378252872773, 106049331638192773, ...
546   211125067071829, ...
570   1345711391461, 5810517340434661, ...
660   13786783637881, ...
672   142718568339485377, ...
684   154643791177, ...
774   8695993590900027, ...
810   5646270598021, ...
814   31571188513, ...
816   31571188513, ...
820   1119337766869561, ...
968   52335185632753, ...
972   289085338292617, ...
978   60246544949557, ...
1050   64169172901, ...
1410   80293806421, ...
2772  A028502 95295817, 124035913, ...
3918   61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ...
9222   404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ...
9828   432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ...
14280   848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ...
23730   2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ...
31752  A034916 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ...
55848   15166641361, 44783952721, 67623550801, ...
67782   18407557741, 18444431149, 34939858669, ...
92568   50611924273, 64781493169, 84213367729, ...
100932   50969246953, 53192980777, 82145123113, ...

Megmutatható, hogy ha k > 1 páratlan egész szám és p = (3k + 1) / 2, q = 3k + 4 prímszámok, akkor p²q egy k-hipertökéletes szám; Judson S. McCranie 2000-es sejtése szerint páratlan k > 1 számokra az összes k-hipertökéletes szám ilyen alakú, de ezt még nem sikerült igazolni. Belátható továbbá, hogy ha pq páratlan prímek és k olyan egész szám, amire k(p + q) = pq - 1, akkor pq k-hipertökéletes.

Megmutatható továbbá az is, hogy ha k > 0 és p = k + 1 prímszám, akkor minden i > 1-re, amire q = pip + 1 prímszám, az n = pi − 1q szám k-hipertökéletes. A következő táblázat listázza az ismert k és a hozzátartozó i értékeket, amire n k-hipertökéletes:

k OEIS i érték
16  A034922 11, 21, 127, 149, 469, ...
22 17, 61, 445, ...
28 33, 89, 101, ...
36 67, 95, 341, ...
42  A034923 4, 6, 42, 64, 65, ...
46  A034924 5, 11, 13, 53, 115, ...
52 21, 173, ...
58 11, 117, ...
72 21, 49, ...
88  A034925 9, 41, 51, 109, 483, ...
96 6, 11, 34, ...
100  A034926 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ...

HiperhiányosságSzerkesztés

A hipertökéletes számok kapcsán bevezethető új matematikai fogalom a hiperhiányosság (hyperdeficiency).

Definíció (Minoli 2010): Bármely pozitív egész n-re és egész k-ra, az n szám k-hiperhiányossága (vagy egyszerűen hiperhiányossága):

   δk(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)

Egy n szám akkor k-hiperhiányos, ha δk(n) > 0.

Vegyük észre, hogy k=1-re δ1(n)= 2n–σ(n), ami éppen a hiányosság hagyományos definíciója.

Lemma: Egy n szám akkor és csak akkor k-hipertökéletes (beleértve a k=1 esetet), ha n k-hiperhiányossága, azaz δk(n) = 0.

Lemma: Egy n szám akkor és csak akkor k-hipertökéletes (beleértve a k=1 esetet), ha valamely k-ra δk-j(n) = -δk+j(n) legalább egy j > 0 esetben.

JegyzetekSzerkesztés

IrodalomSzerkesztés

CikkekSzerkesztés

KönyvekSzerkesztés

  • Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (p. 114-134)

További információkSzerkesztés