Főmenü megnyitása

Természetes számok

a számoláshoz „természetesen” használt szám, azaz egy pozitív vagy nemnegatív egész (a 0 befoglalásának egyértelműsítéséhez használd a Q28920044 vagy Q28920052 elemet)
(Természetes szám szócikkből átirányítva)

Természetes számoknak nevezik

A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatban.

A természetes számok halmazát a matematikában egy tipográfiailag kiemelt félkövér vagy „blackboard bold” (kontúros) (Unicode: U+2115) betűvel jelölik (a latin naturalis, azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazának megszámlálhatóan végtelen számú eleme van.

A természetes számok az összeadásra és a szorzásra kommutatív félgyűrűt alkotnak.

Történelmi vonatkozásokSzerkesztés

A "természetes" elnevezés eredeteSzerkesztés

Az ókorban a természetes számokat egyszerűen csak számoknak nevezték (a görögök még az 1-et sem értették közéjük); más nevezetes számosztályokat nem tartottak számon (a racionális számokat pl. számok arányainak tekintették, nem pedig önálló számosztálynak).

A "természetes" elnevezés valószínűleg csak a 19. század végén alakult ki. R. Dedekind, akitől a nevezetes számosztályok (természetes, egész, valós stb.) betűs jelöléseinek egy része származik (ezek szintén ebben az időben alakultak ki), egy 1872-es cikkében a természetes számokról még mint „úgynevezett természetes számokról” beszél (vagyis a kifejezés még nem rögzült teljesen).[5] Grosschmid Lajos magyar matematikus egy 1911-es számelméleti cikkében[6] (egy lábjegyzetben) Dedekindnek tulajdonította a „természetes” kifejezést („Természetes szám alatt - Dedekind nyomán - értek bármely pozitív raczionális egész számot. V. ö. : naturliche Zahl; Dirichlet-Dedekind i.m.[7] XI. Suppl. 436. l.”).

Természetes szám-e a nulla?Szerkesztés

A szakirodalomban eltérések találhatóak abban, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e; másképp szólva, hogy a "természetes szám" elnevezéssel a {0; 1; 2; 3; 4, ....} vagy az egy elemmel szűkebb {1; 2; 3; 4; ...} halmazt illessük-e. Mivel ez nem szorosabb értelemben véve matematikai probléma (nem lehet matematikai tételekből kiszámítani vagy bebizonyítani, természetes szám-e a nulla), hanem pusztán egy elnevezés tartalmáról való döntés, így definíció, megállapodás kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés mégsem érdektelen, mert, bár a probléma nem matematikai jellegű, eldöntésének már vannak ilyen következményei - a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.

Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:

természetes számok: pozitív egész számok;[8]
A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.[9]
Tegyük fel, hogy  , és
i)  ,
ii) minden   esetében  .
Ekkor  .
...
... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló
    jelölést.[10]

A 19. században, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeket  , a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedig   vagy   szimbólummal jelölik; az   jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. Az   jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.

Jellemző, hogy G. Peano, akinek a természetes számok első formális matematikai jellegű elméletének lefektetését tulajdonítják, első ilyen tárgyú cikkeiben még nem sorolta a 0-t a természetes számok közé, későbbi cikkeiben (1898-tól, Formulaire de mathématiques II. c. kiadvány, 2. fej.) azonban már igen. Peano használta és vezette be (ugyanott) a fentebb említett N0 és N1 jeleket is a kétféle számhalmaz megkülönböztetésére.[11]

A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetikaSzerkesztés

Minden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

A PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel (egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukszceszor operátornak mondunk (szemléletesen n' az n számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a   függvényjel, ami a szorzás.

A PA axiómái a következők (az n, m, k, … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):

(P1) n'   0
(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)
(P2) n' = m'   n = m
(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)
(P3) n + 0 = n
(a nulla alaptulajdonsága)
(P4) n + m' = (n + m)'
(összeg rákövetkezője)
(P5) n   0 = 0
(nullával való szorzás)
(P6) n   m' = (n   m) + n
("elődisztributivitás")
(P7) ( F(0) & (F(n)   F( n' ) ) )   F(n)
(a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

 

A természetes számok a halmazelméletbenSzerkesztés

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0, ', +,  ) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N  N függvény, +:N   N   N, és  :N   N   N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.

Standard modellSzerkesztés

A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

 

halmaz. Itt rendre

 
 
 
 
 

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az

 

(alef null – itt   a héber ábécé első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az

 

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

Algebrai tulajdonságokSzerkesztés

Algebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív félcsoport, a szorzással szintúgy. Az (N,+) egyműveletes struktúrát a természetes számok additív félcsoportjának, míg az (N, ·) egyműveletes struktúrát a természetes számok multiplikatív félcsoportjának nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.

AxiomatizálásSzerkesztés

Először Richard Dedekind definiálta axiómákkal a természetes számokat 1888-ban implicit módon.[12] Ettől függetlenül Giuseppe Peano 1889-ben egyszerűbb és formálisan precíz axiómarendszert adott meg.[13][14] Ezeket a Peano-axiómákat elterjedten használják. Mivel az eredetihez másodfokú predikátumlogika szükséges, azért használják ennek gyengébb változatát, a Peano-aritmetikát.[15] Más, hasonló axiómarendszerek a Robinson-aritmetika és a primitív rekurzív aritmetika.

A természetes számok definiálhatók a Peano-axiomákkal. Ekkor a természetes számok halmaza az, ami eleget tesz a Peano-axiómáknak. Végtelen sok halmaz van, ami megfelel ezeknek a kritériumoknak, de ezek csak a jelölésben különböznek, a viselkedésük ugyanaz. A matematikában ezt izomorfiának nevezik. Ezt az eredményt Dedekind-féle egyértelműségi tételnek nevezik. Emiatt lehetséges a természetes számokról beszélni.

Neumann János modelljeSzerkesztés

Neumann Jánosnak sikerült a természetes számokat halmazokkal ábrázolnia, azaz megalkotta a természetes számok halmazelméleti modelljét:

 

A kiindulási elem a „0“ a   üres halmaz. Az „1“ az az egyelemű halmaz, aminek egyetlen eleme a nulla. Ez különbözik az üres halmaztól, mivel annak nulla eleme van.

A rákövetkezési reláció azt a halmazt adja, ami tartalmazza az adott halmaz összes elemét, és a halmazt is. Más szavakkal, az adott halmaz és az azt egyelemű halmazként tartalmazó halmaz uniója. Ez utóbbi diszjunkt az adott halmaztól, így minden halmaz különbözik az előzőtől, tehát a rákövetkező reláció injektív.

Az egyes természetes számok létezését már a gyenge halmazelméleti axiómák biztosítják. A természetes számok   vagy   halmazának létezéséhez a Zermelo-Fraenkel-axiómarendszerben egy külön axiómának, a végtelenségi axióma biztosítja.

A konstrukció további folytatása, illetve további megelőző számok nélküli számok definiálása a rendszámokat hozza létre.

A valós számok részhalmazaSzerkesztés

A természetes számok definiálhatók induktívan, a valós számok közül kiválasztva.[16]

A valós számok egy   részhalmaza induktív, ha teljesíti a következőket:

  1. 0 eleme  -nek
  2. Ha   eleme az   halmaznak, akkor   is eleme az   halmaznak.

Ekkor   az   induktív halmazainak metszete.

További információkSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Matematikai kislexikon, Budapest: Műszaki Könyvkiadó, 1972
  2. Hajnal Imre: Matematika I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1987
  3. Szász Gábor: Matematika I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, 21. o.
  4. Négyjegyű függvénytáblázatok – Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések, Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, ISBN 963-18-7970-4
  5. Richard Dedekind: A folytonosság és az irracionális számok (angol nyelven, W. W. Beman ford.); 15. old.
  6. Grosschmid Lajos: A négyzetes binóm-kongruencziák gyökeiről. Mathematikai és Physikai Lapok XX. (1911). Kiadja a Mathematikai és Physikai Társulat. Teljes cikk 4.-72. old., hivatkozások: 53. és 61. o.
  7. Dirichlet, P. G. L. - Dedekind, R.: Vorlesungen über Zahlentheorie. Druck und Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1894.
  8. Magyar értelmező kéziszótár (Akadémiai Kiadó, Budapest, 2003)
  9. Obádovics József Gyula: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980), 65. oldal
  10. Kósa András: Ismerkedés a matematikai analízissel (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981), 35-37. oldal
  11. Kennedy, Hubert C.: Peano's Concept of Number[halott link]. Hist. Mat. I./4. (1974. nov.). 387-408. o. Hiv. beill.: 2013-07-02.
  12. Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig 1888.
  13. Peano: Arithmetices principia nova methodo exposita. Turin 1889.
  14. Zur Unabhängigkeit von Dedekind siehe: Hubert Kennedy: The origins of modern Axiomatics. In: American Mathematical monthly. 79 (1972), S. 133–136. Auch in: Kennedy: Giuseppe Peano. San Francisco 2002, S. 35 f.
  15. Rautenberg (2007), Kap. 11.
  16. Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. Walter de Gruyter, Berlin 2000, ISBN 978-3110167795, S. 21–23.

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Natürliche Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés