Természetes számok
Természetes számoknak nevezik
- a nemnegatív egész számokat, tehát a 0, 1, 2, 3, 4 … számtani sorozat tagjait,[1][2][3]
- más értelmezés szerint a pozitív egész számokat, tehát az 1, 2, 3, … számtani sorozat tagjait.[4]
A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatban.
A természetes számok halmazát a matematikában egy tipográfiailag kiemelt félkövér vagy „blackboard bold” (kontúros) (Unicode: U+2115) betűvel jelölik (a latin naturalis, azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazának megszámlálhatóan végtelen számú eleme van.
A természetes számok az összeadásra és a szorzásra kommutatív félgyűrűt alkotnak.
Történelmi vonatkozások
szerkesztésA „természetes” elnevezés eredete
szerkesztésAz ókorban a természetes számokat egyszerűen csak számoknak nevezték (a görögök még az 1-et sem értették közéjük); más nevezetes számosztályokat nem tartottak számon (a racionális számokat pl. számok arányainak tekintették, nem pedig önálló számosztálynak).
A "természetes" elnevezés valószínűleg csak a 19. század végén alakult ki. R. Dedekind, akitől a nevezetes számosztályok (természetes, egész, valós stb.) betűs jelöléseinek egy része származik (ezek szintén ebben az időben alakultak ki), egy 1872-es cikkében a természetes számokról még mint „úgynevezett természetes számokról” beszél (vagyis a kifejezés még nem rögzült teljesen).[5] Grosschmid Lajos magyar matematikus egy 1911-es számelméleti cikkében[6] (egy lábjegyzetben) Dedekindnek tulajdonította a „természetes” kifejezést („Természetes szám alatt - Dedekind nyomán - értek bármely pozitív raczionális egész számot. V. ö. : naturliche Zahl; Dirichlet-Dedekind i.m.[7] XI. Suppl. 436. l.”).
Természetes szám-e a nulla?
szerkesztésA szakirodalomban eltérések találhatóak abban, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e; másképp szólva, hogy a "természetes szám" elnevezéssel a {0; 1; 2; 3; 4, ....} vagy az egy elemmel szűkebb {1; 2; 3; 4; ...} halmazt illessük-e. Mivel ez nem szorosabb értelemben véve matematikai probléma (nem lehet matematikai tételekből kiszámítani vagy bebizonyítani, természetes szám-e a nulla), hanem pusztán egy elnevezés tartalmáról való döntés, így definíció, megállapodás kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés mégsem érdektelen, mert, bár a probléma nem matematikai jellegű, eldöntésének már vannak ilyen következményei - a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.
Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:
- „természetes számok: pozitív egész számok;”[8]
- „A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.”[9]
- „Tegyük fel, hogy , és
- i) ,
- ii) minden esetében .
- Ekkor .
- ...
- ... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló
- jelölést.”[10]
A 19. században, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeket , a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedig vagy szimbólummal jelölik[forrás?]; az jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. Az jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.
Jellemző, hogy G. Peano, akinek a természetes számok első formális matematikai jellegű elméletének lefektetését tulajdonítják, első ilyen tárgyú cikkeiben még nem sorolta a 0-t a természetes számok közé, későbbi cikkeiben (1898-tól, Formulaire de mathématiques II. c. kiadvány, 2. fej.) azonban már igen. Peano használta és vezette be (ugyanott) a fentebb említett N0 és N1 jeleket is a kétféle számhalmaz megkülönböztetésére.[11]
A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika
szerkesztésMinden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).
A PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel (egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukceszor operátornak mondunk (szemléletesen n' az n számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a függvényjel, ami a szorzás.
A PA axiómái a következők (az n, m, k, … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):
- (P1) n' 0
- (azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)
- (P2) n' = m' n = m
- (ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)
- (P3) n + 0 = n
- (a nulla alaptulajdonsága)
- (P4) n + m' = (n + m)'
- (összeg rákövetkezője)
- (P5) n 0 = 0
- (nullával való szorzás)
- (P6) n m' = (n m) + n
- ("elődisztributivitás")
- (P7) ( F(0) & (F(n) F( n' ) ) ) F(n)
- (a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))
A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy
A természetes számok a halmazelméletben
szerkesztésA Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0, ', +, ) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N N függvény, +:N N N, és :N N N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.
Standard modell
szerkesztésA természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a
halmaz. Itt rendre
A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az
(alef null – itt a héber ábécé első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az
jelet használjuk.
A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.
Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.
Algebrai tulajdonságok
szerkesztésAlgebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív félcsoport, a szorzással szintúgy. Az (N,+) egyműveletes struktúrát a természetes számok additív félcsoportjának, míg az (N, ·) egyműveletes struktúrát a természetes számok multiplikatív félcsoportjának nevezzük.
A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.
Axiomatizálás
szerkesztésElőször Richard Dedekind definiálta axiómákkal a természetes számokat 1888-ban implicit módon.[12] Ettől függetlenül Giuseppe Peano 1889-ben egyszerűbb és formálisan precíz axiómarendszert adott meg.[13][14] Ezeket a Peano-axiómákat elterjedten használják. Mivel az eredetihez másodfokú predikátumlogika szükséges, azért használják ennek gyengébb változatát, a Peano-aritmetikát.[15] Más, hasonló axiómarendszerek a Robinson-aritmetika és a primitív rekurzív aritmetika.
A természetes számok definiálhatók a Peano-axiomákkal. Ekkor a természetes számok halmaza az, ami eleget tesz a Peano-axiómáknak. Végtelen sok halmaz van, ami megfelel ezeknek a kritériumoknak, de ezek csak a jelölésben különböznek, a viselkedésük ugyanaz. A matematikában ezt izomorfiának nevezik. Ezt az eredményt Dedekind-féle egyértelműségi tételnek nevezik. Emiatt lehetséges a természetes számokról beszélni.
Neumann János modellje
szerkesztésNeumann Jánosnak sikerült a természetes számokat halmazokkal ábrázolnia, azaz megalkotta a természetes számok halmazelméleti modelljét:
A kiindulási elem a „0“ a üres halmaz. Az „1“ az az egyelemű halmaz, aminek egyetlen eleme a nulla. Ez különbözik az üres halmaztól, mivel annak nulla eleme van.
A rákövetkezési reláció azt a halmazt adja, ami tartalmazza az adott halmaz összes elemét, és a halmazt is. Más szavakkal, az adott halmaz és az azt egyelemű halmazként tartalmazó halmaz uniója. Ez utóbbi diszjunkt az adott halmaztól, így minden halmaz különbözik az előzőtől, tehát a rákövetkező reláció injektív.
Az egyes természetes számok létezését már a gyenge halmazelméleti axiómák biztosítják. A természetes számok vagy halmazának létezéséhez a Zermelo-Fraenkel-axiómarendszerben egy külön axiómának, a végtelenségi axióma biztosítja.
A konstrukció további folytatása, illetve további megelőző számok nélküli számok definiálása a rendszámokat hozza létre.
A valós számok részhalmaza
szerkesztésA természetes számok definiálhatók induktívan, a valós számok közül kiválasztva.[16]
A valós számok egy részhalmaza induktív, ha teljesíti a következőket:
- 0 eleme -nek
- Ha eleme az halmaznak, akkor is eleme az halmaznak.
Ekkor az induktív halmazainak metszete.
További információk
szerkesztésJegyzetek
szerkesztés- ↑ Hajnal Imre: Matematika I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1987
- ↑ Szász Gábor: Matematika I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, 21. o.
- ↑ Négyjegyű függvénytáblázatok – Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések, Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, ISBN 963-18-7970-4
- ↑ Matematikai kislexikon, Budapest: Műszaki Könyvkiadó, 1972
- ↑ Richard Dedekind: A folytonosság és az irracionális számok (angol nyelven, W. W. Beman ford.); 15. old.
- ↑ Grosschmid Lajos: A négyzetes binóm-kongruencziák gyökeiről. Mathematikai és Physikai Lapok XX. (1911). Kiadja a Mathematikai és Physikai Társulat. Teljes cikk 4.-72. old., hivatkozások: 53. és 61. o.
- ↑ Dirichlet, P. G. L. - Dedekind, R.: Vorlesungen über Zahlentheorie. Druck und Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1894.
- ↑ Magyar értelmező kéziszótár (Akadémiai Kiadó, Budapest, 2003)
- ↑ Obádovics József Gyula: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980), 65. oldal
- ↑ Kósa András: Ismerkedés a matematikai analízissel (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981), 35-37. oldal
- ↑ Kennedy, Hubert C.: Peano's Concept of Number[halott link]. Hist. Mat. I./4. (1974. nov.). 387-408. o. Hiv. beill.: 2013-07-02.
- ↑ Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig 1888.
- ↑ Peano: Arithmetices principia nova methodo exposita. Turin 1889.
- ↑ Zur Unabhängigkeit von Dedekind siehe: Hubert Kennedy: The origins of modern Axiomatics. In: American Mathematical monthly. 79 (1972), S. 133–136. Auch in: Kennedy: Giuseppe Peano. San Francisco 2002, S. 35 f.
- ↑ Rautenberg (2007), Kap. 11.
- ↑ Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. Walter de Gruyter, Berlin 2000, ISBN 978-3110167795, S. 21–23.
Források
szerkesztés- Természetes számok
- Természetes számok a MathWorld-ön
- Bertrand Russell: Einführung in die mathematische Philosophie. Drei-Masken, München 1919, F. Meiner, Hamburg 2006, ISBN 3-7873-1602-7.
- Johannes Lenhard, Michael Otte (Hrsg.): Einführung in die mathematische Philosophie. F. Meiner, Hamburg 2002, ISBN 3-7873-1602-7.
- Harald Scheid: Zahlentheorie. 2. Auflage. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-14842-X.
- Wolfgang Rautenberg. Messen und Zählen. Lemgo: Heldermann Verlag (2007)
Fordítás
szerkesztés- Ez a szócikk részben vagy egészben a Natürliche Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.