Implikáció

logikai művelet

Az implikáció, kondicionális vagy szubjunkció logikai művelet, használjuk a matematikai logikában, informatikában. Két állítást kapcsol össze, és jelentése a ha, akkor nyelvi kifejezéshez áll közel. Példa: Ha esik az eső, akkor az út vizes. Az implikáció a logikában nem fordítható meg, visszafelé a következtetés nem érvényes. Így például nem lehet arra következtetni az előző állításból, hogy ha vizes az utca, akkor esik az eső. A nyelvben a Ha, akkor szavakkal összekapcsolt mondatoknak gyakran más logikai művelet felel meg, ahol a következtetés visszafelé is érvényes: az ekvivalencia, más néven bikondicionális. A két művelet közötti különbségről hosszabban a bikondicionális cikkünkben írunk.

Az implikáció csak akkor hamis, hogyha A igaz, és B hamis. Ez a tartomány a Venn-diagramon fehér.
Klasszikusan

A → B ¬A B

Különbséget kell tenni a logikai és a metanyelvi implikáció között. A metanyelvi implikáció két állításról tesz kijelentést, Például: Az „Esik az eső.” állítás implikálja a „Vizes az utca.” állítást. A kettő közötti kapcsolat az, hogy az egyik akkor és csak akkor igaz, hogyha a másik is. Az implikáció feltétlenül nem jelent oksági kapcsolatot, anélkül is fennállhat.

Félreértésekhez vezet, hogy a hamis előtag implikál bármilyen utótagot. Így például a „Ha , akkor az ember halhatatlan.” mondat igaz, de mindként tagja hamis. Az implikáció igaz voltából nem lehet következtetni az utótag igaz voltára. Ez a materiális implikáció paradoxona.

JelöléseSzerkesztés

Az implikációt jelölheti → nyíl,   kettős nyíl, vagy   patkó. Lengyelformában C a jele. Ha a nyíl, illetve patkó iránya fordított, akkor az utótag implikálja az előtagot. Gottlob Frege a klasszikus logika első formalizációjával az implikációt   jellel fejezte ki fogalomírásában.

IgazságtáblájaSzerkesztés

Ha p és q ítéletek, melyek lehetséges értékei 0 (hamis) vagy 1 (igaz), akkor az implikáció műveletét, melynek jele a →, a következő művelettábla szerint értelmezzük:

p q p→q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

ahol 1 az igaz, 0 a hamis jele.[1] Már Megarai Philon is így értelmezte a műveletet.

A fentiek szerint hamis állításból következhet hamis, hamisból következhet igaz (reductio ad absurdum módszere), igazból nem következhet hamis, igazból következhet igaz állítás.[2] Ez tulajdonképpen a „Ha…, akkor…” kijelentésnek felel meg. Példa: Ha húsz fok van odakint, akkor nem veszek kabátot.

TulajdonságaiSzerkesztés

Az implikáció:

  • disztributív önmagára:  
  • tranzitív:  
  • reflexív:  
  • Teljesül a totalitás is:  
  • igazőrző, azaz abban az interpretációban, ahol az operandusok mindegyike igaz, az implikáció is igaz
  • az előfeltételek felcserélhetősége:

 

A   formula ekvivalens  -val, és a De Morgan-szabály alapján  -val (inferencia).[3] A minimális logikában azonban az implikáció csak logikailag következik a   képletből. Az intuicionista logikában az implikációból következik  .

Jegyezzük meg, hogy   logikailag ekvivalens  -vel. Ezt curryzésnek nevezik, emiatt kényelmes jobbra zárójelező írásmódot bevezetni az implikációra:   azt jelenti, hogy  .

Az   implikáció kifejezhető úgy is, mint  . A   tagadás megfelel  -nek.

A dialogikus logikábanSzerkesztés

A dialogikus logikában az implikációt a következő szabályok definiálják:

Implikáció Támadás Védekezés
     

A dialogikus logikában a támadó kétségbe vonja az előtagot. Ekkor a védőnek először az előtagot, majd az utótagot kell bizonyítania. Például ha az állítja: Ha a benzinárak nőnek, akkor csökken az autóforgalom, akkor a támadó kétségbe vonhatja, hogy a benzinárak tényleg nőnek, azért ezt kell először bizonyítania. Keretrendszertől függ, hogy az implikációs kapcsolatot, vagy az utótagot az előtagtól függetlenül kell-e igazolnia.

Formális összekötőkéntSzerkesztés

Formális összekötőként a következő szabályok alkalmazhatók rá:[4]

  • modus ponens
  • kondicionális bizonyítás
  • klasszikus kontrapozíció
  • klasszikus reductio ad absurdum

A logikai összekötőként való megközelítés lehetővé teszi a szerkezetileg azonos propozíciós formák vizsgálatát különböző logikai rendszerekben, melyekben különböző tulajdonságok mutathatók ki. Például az intuicionista logika nem fogadja el a kontrapozíciót, így (p → q) ⇒ ¬p ∨ q nem propozíciós tétel, viszont az implikációval definiálja a tagadást.

A formális logikábanSzerkesztés

A formális logikában megkülönböztetik a   szemantikus következmény relációtól. Azt mondjuk, hogy  , hogyha minden interpretációban, ahol A igaz, B is igaz. Azonban a legtöbb logika, köztük a klasszikus logika szerint a kettő kapcsolatban áll egymással:

  • Ha  , akkor   valamely   esetén. Szavakkal, ha Γ modellezi ψ-t, akkor ψ levezethető a Γ állításainak egy részéből.
  • Ugyanez teljesül megfordítva is.
  • Mindkét reláció monoton, azaz, ha  , akkor  , és ha  , akkor   valamely

α, Δ esetén. Erre gyakran gyengítésként hivatkoznak.

Mindezek a kapcsolatok nem állnak fenn minden logikában, így például a nem monoton logikákban, illetve a relevancialogikákban.

A természetes nyelvbenSzerkesztés

A természetes nyelvben:

  • Nem lehet az, hogy ha P igaz, akkor Q nem igaz.
  • Nincs P Q nélkül. Ahol a következmény hiányáról van szó.

ForrásokSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Clarke, Matthew C.: A Comparison of Techniques for Introducing Material Implication. Cornell University, 1996. március 1. (Hozzáférés: 2012. március 4.)
  2. Magnus, P.D: forallx: An Introduction to Formal Logic. Creative Commons, 2012. január 6. (Hozzáférés: 2013. május 28.)
  3. Teller, Paul: A Modern Formal Logic Primer: Sentence Logic Volume 1. Prentice Hall, 1989. január 10. (Hozzáférés: 2013. május 28.)
  4. Clarke, Matthew C.: A Comparison of Techniques for Introducing Material Implication. Cornell University, 1996. március 1. (Hozzáférés: 2012. március 4.)

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Subjunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Material conditional című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.