Legfontosabb redukciós formulák
szerkesztés
Trigonometrikus redukciós formulák
szerkesztés
∫ sin n x d x = ( n − 1 ) n ∫ sin n − 2 x d x − 1 n sin n − 1 x cos x {\displaystyle \int \sin ^{n}xdx={\frac {(n-1)}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx-{\frac {1}{n}}\sin ^{n-1}x\,\cos x}
∫ cos n x d x = ( n − 1 ) n ∫ cos n − 2 x d x + 1 n cos n − 1 x sin x {\displaystyle \int \cos ^{n}xdx={\frac {(n-1)}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,dx+{\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\,\sin x} A két formula levezetése analóg, mi csak az elsőt mutatjuk be. Parciálisan integrálva :
∫ sin n − 1 x ( − cos ′ x ) d x = − sin n − 1 x cos x + ( n − 1 ) ∫ sin n − 2 x cos 2 x d x {\displaystyle \int \sin ^{n-1}x\,(-\cos 'x)\,dx=-\sin ^{n-1}x\,\cos x+(n-1)\int \sin ^{n-2}x\,\cos ^{2}x\,dx} , ahol
∫ sin n − 2 x cos 2 x d x = ∫ sin n − 2 x ( 1 − s i n 2 x ) , d x {\displaystyle \int \sin ^{n-2}x\,\cos ^{2}x\,dx=\int \sin ^{n-2}x\,(1-sin^{2}x),dx} .Visszaírva és, rendezve:
n ∫ sin n − 1 x ( − cos ′ x ) d x = ( n − 1 ) ∫ sin n − 2 x d x − sin n − 1 x cos x {\displaystyle n\int \sin ^{n-1}x\,(-\cos 'x)\,dx=(n-1)\int \sin ^{n-2}x\,dx-\sin ^{n-1}x\,\cos x} , ami már maga a redukciós formula.∫ d x ( 1 + x 2 ) n {\displaystyle \int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n}}}}
∫ d x ( 1 + x 2 ) n = 1 2 n − 2 x ( 1 + x 2 ) n − 1 + 2 n − 3 2 n − 2 ∫ d x ( 1 + x 2 ) n − 1 {\displaystyle \int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n}}}={\frac {1}{2n-2}}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2n-2}}\int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n-1}}}} Hogy ezt belássuk, a számlálót írjuk át:
∫ d x ( 1 + x 2 ) n = ∫ d x ( 1 + x 2 ) n − 1 − ∫ x 2 ( 1 + x 2 ) n d x {\displaystyle \int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n}}}=\int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n-1}}}-\int {\frac {x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx} Parciálisan integrálva:
∫ x 2 ( 1 + x 2 ) n d x = 1 2 n − 2 [ − x ( 1 + x 2 ) n − 1 + ∫ d x ( 1 + x 2 ) n − 1 ] {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx={\frac {1}{2n-2}}\left[{\frac {-x}{(1+x^{2})^{n-1}}}+\int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n-1}}}\right]} , amit rendezve már a kívánt formulához jutunk.∫ x n e a x d x {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,dx}
Parciálisan integrálva kapjuk, hogy
∫ x n e a x d x = 1 a [ a x n e a x − n ∫ x n e a x d x ] {\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}\left[{a}x^{n}e^{ax}-n\int x^{n}e^{ax}\,dx\right]}
Trigonometrikus helyettesítéseknél
szerkesztés
Irracionális függvények határozott integráljának a kiszámításakor gyakran alkalmazhatunk olyan trigonometrikus helyettesítést, ahol az integrandusz a helyettesítés után sin, vagy cos polinomja, és a határok π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} többszörösei. Ekkor hasznos a következő két formula, amit a redukciós formulák alkalmazásával könnyen megkaphatunk:
∫ 0 π / 2 sin 2 n + 1 x d x = 2 ⋅ 4 … 2 n 3 ⋅ 5 … ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}x\,dx={\frac {2\cdot 4\ldots 2n}{3\cdot 5\ldots (2n+1)}}}
∫ 0 π / 2 sin 2 n x d x = 1 ⋅ 3 … ( 2 n − 1 ) 2 ⋅ 4 … ( 2 n ) ⋅ π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n}x\,dx={\frac {1\cdot 3\ldots (2n-1)}{2\cdot 4\ldots (2n)}}\cdot {\frac {\pi }{2}}} Racionális törtfüggvények integrálásakor
szerkesztés
Racionális törtfüggvény primitív függvényének a meghatározásakor a függvényt parciális törtekre bontjuk. A kapott összeadandók primitív függvényét zárt alakban megkaptuk, kivéve az ∫ d x ( x 2 + 1 ) n {\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+1)^{n}}}} alakú tagokét. Hogy ezen tagok határozott integrálját is számolhassuk, redukciós formulát alkalmazunk:
I n = ∫ a b d x 1 + x 2 {\displaystyle I_{n}=\int _{a}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}}
I n = 1 2 n − 2 [ x ( 1 + x 2 ) n − 1 ] a b + 2 n − 3 2 n − 2 I n − 1 = 1 2 n − 2 [ x ( 1 + x 2 ) n − 1 ] a b + 2 n − 3 ( 2 n − 2 ) ( 2 n − 4 ) [ x ( 1 + x 2 ) n − 1 ] a b + … + ( 2 n − 3 ) ! ! ( 2 n − 2 ) ! ! [ arc tg x ] a b {\displaystyle I_{n}={\frac {1}{2n-2}}{\Big [}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}{\Big ]}_{a}^{b}+{\frac {2n-3}{2n-2}}I_{n-1}={\frac {1}{2n-2}}{\Big [}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}{\Big ]}_{a}^{b}+{\frac {2n-3}{(2n-2)(2n-4)}}{\Big [}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}{\Big ]}_{a}^{b}+\,\ldots \,+{\frac {(2n-3)!!}{(2n-2)!!}}{\Big [}{\text{arc tg }}x{\Big ]}_{a}^{b}}
Felhasználva, hogy
∫ 0 ∞ e − t d t = 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1} ,az idevágó redukciós formulából adódik, hogy
∫ 0 ∞ x n e − t d t = n ! {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-t}\,dt=n!} .A gamma-függvény szokásos definíciójával egybevetve:
Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!} Ugyanazt a parciális integrálást elvégezve, amit a vonatkozó redukciós formulánál elvégeztük kapjuk, hogy
Γ ( x ) = ( x − 1 ) Γ ( x − 1 ) {\displaystyle \Gamma (x)=(x-1)\Gamma (x-1)} .
Banach, S.: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, 1967