Racionális törtfüggvény
A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg:
.
A függvény két polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény hányadosa. Az együtthatók lehetnek racionális, valós vagy komplex számok, az egyetlen kikötés, hogy nem lehet nulla, emiatt nem lehet az azonosan nulla polinom.
A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre nem nulla.
Típusai
szerkesztésHa a polinom foka nulla, azaz konstans, akkor a függvény polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény.
Egyébként, ha a nevező foka nagyobb, akkor valódi racionális törtfüggvényről van szó.
Ha ez nem teljesül, akkor a racionális törtfüggvény nem valódi. Polinomosztással egy polinom és egy racionális törtfüggvény összegeként ábrázolható.
A táblázat mutat néhány példát a számláló különböző fokaira és a nevező különböző fokaira:
Példa | Alternatív írásmód | z = | n = | Függvénytípus |
---|---|---|---|---|
3 | 0 | racionális egészfüggvény | ||
1 | 2 | valódi racionális törtfüggvény | ||
3 | 3 | nem valódi racionális törtfüggvény | ||
2 | 1 | nem valódi racionális törtfüggvény |
Tulajdonságai
szerkesztésMivel -nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.
Fokszám, rendszám
szerkesztésAz m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg:
Fontosabb törtfüggvények
szerkesztésFordított arányosság
szerkesztésA görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:
(Az ábrán együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)
Lineáris törtfüggvény
szerkesztésA függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja.
Reciprok hatványfüggvény
szerkesztésPontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.
Reciprok polinomfüggvény
szerkesztésAz n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1.
Az ábrán az explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)
Aszimptotika
szerkesztésA racionális törtfüggvényeknek szakadásuk van a nevező gyökeinél. Emellett még a végtelenben vett viselkedés is kérdéses.
A végtelenben vett viselkedés szempontjából a nevező és számláló foka döntő fontossággal bír. A szakasz további részében a számláló, a nevező fokszáma. Ha , akkor
- tart -hez, hogyha , ahol a szignumfüggvény.
- tart -hez, ha (az aszimptota párhuzamos az -tengellyel),
- tart -hoz (az -tengely vízszintes aszimptota), ha .
Ha , akkor a második és a harmadik esetben ugyanaz a határérték, mint esetén. A többi eset:
- Ha páros, akkor az érték ugyanaz, mint esetén.
- Ha páratlan, akkor az előjel ellentettje az értékének.
Ahogy majd később írjuk, polinomosztással a függvény felbontható egy polinom és egy valódi racionális törtfüggvény összegére. A polinom aszimptotikus görbét ad. A speciális esetben ferde aszimptota adódik. Az aszimptotikus görbe vizsgálatával az viselkedése egyszerűbben elemezhető.
Példák:
- Az lineáris törtfüggvény esetén a számláló foka és a nevező foka , így az határérték .
- Az racionális törtfüggvény számlálójának foka , nevezőjének foka ; a főegyütthatók und , tehát adódik az aszimptota egyenlete: .
- Az racionális törtfüggvény számlálójának foka , nevezőjének foka ; az és főegyütthatókkal adódik, hogy
, ha . Mivel páratlan, azért határértékének előjele az előző ellentettje. A függvény írható úgy is, mint , a ferde aszimptota egyenlete , amivel az előbbi értékek könnyebben adódnak.
Diszkusszió
szerkesztésAz függvényterm grafikonjának elemzésére a következő diszkusszió végezhető.
Szimmetria
szerkesztésMivel szakadásai a gyökeiben vannak, a gyökök száma pedig véges, azért az periodikusságáról nem lehet szó.
Egy polinomfüggvény akkor páros vagy páratlan, ha minden kitevője páros vagy páratlan. Ha a számláló és a nevező típusa is ilyen, akkor az racionális törtfüggvény páros vagy páratlan. Nevezetesen:
- Ha és egyszerre páros vagy páratlan, akkor a racionális törtfüggvény páros.
- Ha és egyike páros, másika páratlan, akkor páratlan.
Egyéb esetben nehéz szimmetriáját meghatározni.
Példák:
- Az függvény szimmetrikus az origóra, mivel páratlan és páros, a függvény páratlan.
- Az függvény szimmetrikus az y tengelyre, mivel és is páratlan, így a hányados függvény páros. Kiemelve egy x-et a számlálóból és a nevezőből, egyszerűsíthetjük a függvényt az . Mivel itt és páros, azért a hányados függvény is páros.
- Az függvényről nem lehet szimmetriát megállapítani az alakja alapján, de megmutatható, hogy szimmetrikus a P(1, 1) pontra, ugyanis:
- és
- .
- Eszerint elvégezve az átalakításokat , tehát szimmetrikus az szimmetrikus a P(1, 1) pontra. Egy alternatív módszer, hogy belátjuk, hogy a függvény megkapható -ből eltolással, azaz 1-gyel x irányba, és 1-gyel y irányba.
Értelmezési tartomány, nevezetes pontok
szerkesztésA racionális törtfüggvény nincs értelmezve a polinom gyökeiben. Nullhelyei azok a helyek, melyek gyökei -nek, de nem gyökei -nak.
Speciális esetben az valós szám mind a számlálónak, mind a nevezőnek gyöke. Polinomosztással kiemelhető egy vagy több tényező mind a számlálóból, mind a nevezőből. Hogy hányszor, azt a gyök multiplicitásának nevezik.
- Ha a nevezőben nagyobb a multiplicitás, akkor a hely pólushely, és a nevezőbeli multiplicitás a pólushely multiplicitása.
- Különben a szakadás megszüntethető.
Példák:
- Az függvény értelmezési tartománya , mivel a nevezőnek nullhelye . A függvénynek nullhelye van -ben, mivel ez a számlálónak egy olyan nullhelye, ami nem gyöke a nevezőnek. kétszeres pólus.
- Az függvény értelmezési tartománya . Itt azonban 1 a számláló és a nevező közös gyöke. Kiemelve az tényezőt, adódik, hogy . Innen egyszeres pólus, megszüntethető szakadás, nullhely. Az helyen nincs nullhely, mivel itt a függvény nincs értelmezve. folytonos folytatására és .
Aszimptoták
szerkesztésPolinomosztással kapjuk a függvény alakját, ahol és polinomok, és fokszáma kisebb, mint fokszáma. Az függvény aszimptotikus viselkedését a polinom határozza meg. A polinomosztást csak a harmadik és a negyedik esethez érdemes elvégezni.
- → az x-tengely aszimptota:
- → függőleges aszimptota:
- → ferde aszimptota: (a 4-es speciális esete)
- → racionális egészfüggvény mint közelítőfüggvény, lásd approximáció
Derivált
szerkesztésA racionális törtfüggvények deriválásához általában a hányadosszabályt lehet használni, habár gyakran a láncszabály is hasznos lehet, például ha a nevező egy kéttagú összeg hatványa. A deriválás előtt előnyös elvégezni a polinomosztást, a számláló és a nevező közös tagjainak kiemelését egy külön tényezőbe, hogy a függvény alakja minél egyszerűbb legyen.
Példák:
- Az függvény esetén érdemes a láncszabályt is használni, mivel a nevezőben binom hatványa szerepel. A láncszabállyal a nevező deriváltja:
- ,
- így a teljes függvény deriváltja
- .
- A számlálóban kiemelhetünk egy tényezőt:
- .
- Az függvény polinomosztással
- alakra hozható, ahonnan leolvasható a ferde aszimptota egyenlete:
- .
- A számláló és a nevező tényezőkre bontása:
- ,
felismerhető és kiemelhető mindkét helyen egy tényező. A deriválásra előkészített alak:
- ;
az egyszerűség kedvéért ebből az
- ;
tényezőt fogjuk deriválni. A hányadosszabállyal
- .
A szélsőértékek kereséséhez a deriváltat újra beszorozzuk az elhagyott tényezővel:
- .
Primitív függvény
szerkesztésA racionális egészfüggvényekkel szemben a racionális törtfüggvényeknek gyakran viszonylag nehéz meghatározni a primitív függvényét. A racionális törtfüggvény alakja szerint a következő összefüggéseket lehet használni, amihez általában a megfelelő alakra kell hozni:
- ha
- ha
- vagy
- ha
- ha
- ha
Szükség lehet a parciális törtekre bontásra is. Példák:
- Keressük az függvény primitív függvényét. Polinomosztással:
- .
- Az első szabály alkalmazásával a primitív függvény:
- .
- Keressük az függvény primitív függvényét, ha abszolútértéke legfeljebb 0,5. Polinomosztással
- .
- A negyedik szabállyal:
- .
- Keressük az függvény primitív függvényét. A függvény írható úgy is, mint
- , ahol .
- Az utolsó szabály primitív függvénye:
- .
- Az függvény primitív függvénye az helyettesítéssel határozható meg, miután a nevezőt teljes négyzetté alakítottuk:
- Az primitív függvénye parciális törtekre bontással kapható a kiemelések után:
Alkalmazások
szerkesztésA természettudományokban és a technikában számos alkalmazásuk van a racionális törtfüggvényeknek:
- A legegyszerűbb példa a fordított arányosság, két mennyiség szorzata állandó. Példák:
- Rögzített út megtételéhez szükséges idő és sebesség.
- Adott mennyiségű oldott anyag koncentrációja fordítottan arányos az oldószer térfogatával.
- Adott erő esetén a gyorsított test tömege és gyorsulása.
- Egy síkkondenzátor elektromos kapacitása a lemezek közötti távolság függvényében:
- ,
- ahol a lemezek felülete, a vákuum permittivitása, és a permittivitás.
- A fizika több területén is előkerül az függvény a harmonikus középpel összefüggően. Ha az egyiket paraméternek tekintjük vagy adottnak vesszük, akkor a másik racionális törtfüggvénye adódik. KÉt másik függvény reciprokainak összegének reciprokáról van szó.
- Az optikában egy lencse gyújtótávolsága a tárgy és a kép távolságágából számítható: ; átrendezve hasonló képlet adódik, de összeadás helyett kivonással.
- Párhuzamos kapcsolás esetén két ellenállás, és együttes ellenállása: . Hasonló teljesül két sorosan kapcsolt kondenzátor kapacitására.
- A mechanikában ha két rugót egymás után függesztünk, és rugóállandójuk és , akkor az együttes rugóállandó .
- Feszültségelosztó esetén egy ellenálláson eső feszültség , ahol az elosztandó feszültség és a másik ellenállás.
- Egy ellenállású fogyasztó által leadott teljesítményére adódik, hogy , ahol feszültség és a feszültségforrás belső ellenállása. A legnagyobb lehetséges teljesítmény: .
- Egy nem túl rövid induktivitású tekercsre az sugárral összefüggésben teljesül a következő: , ahol a tekercs hossza, a menetek száma, a mágneses mező konstansa.
- Egy Atwood-féle gép esetén az gyorsulás a következőképpen függ és tömegektől: ; tekinthető vagy racionális törtfüggvényének.
- A geometria is felvethet olyan kérdéseket, amelyekre racionális törtfüggvény adja a választ: Egy test egy , , és élű téglatest és egy erre illesztett magasságú, sugarú félhenger egyesítése. Adott térfogat esetén a felszín: .
Polinomok hányadosteste
szerkesztésAz absztrakt algebrában a polinomok hányadosteste hasonlóan áll elő polinomokból. Egy test fölötti változós polinomgyűrű hányadostestéről van szó absztrakt értelemben.
A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a
és a
kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott osztható -gyel, és a hányados . De ha -et és -et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen értelmezhető az helyen, viszont nem.
Véges test fölött a különbségtétel még egyszerűbb: (maradékosztályok teste modulo egyp prímszám) fölött definiált hányadostestben jóldefiniált racionális függvénye -nek, habár szűkebb értelemben véve nem függvény, mivel sehol sem értelmezhető.
Ugyanis behelyettesítve elemeit, kapjuk, hogy , ami nem értelmezhető, hiszen a kis Fermat-tétel miatt azonosan nulla. Végtelen test fölött ugyanez nem fordulhat elő, csak viszonylag kevés helyen nincs egy racionális törtfüggvény értelmezve. A Zariski-topológia szerint azok a helyek, ahol a függvény nincs értelmezve, Zariski-zárt halmazt alkotnak, és az értelmezési tartomány lezártja a teljes halmaz.
Legyen varietás, amit az polinomok definiálnak. Azaz
- esetén. Vagyis
Az egfész függvények gyűrűje . A racionális függvények teste ennek hányadosteste.
Általánosabb a racionális leképezések fogalma, azaz a kvázi-projektív varietásoké. A racionális függvények egy varietás -be menő racionális leképezéseinek speciális esetei.
Források
szerkesztés- Rationale Funktionen - Ein Digitales Lehrbuch © 2000 - 2001 by Henning Koch
Fordítás
szerkesztésEz a szócikk részben vagy egészben a Rationale Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Irodalom
szerkesztés- Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
- Dr. Hack & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok,…(Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7
- Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)
- Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
- Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
- Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
- Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.