Főmenü megnyitása

A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg:

.

Racionális törtfüggvény 1.jpg

A függvény két polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény hányadosa. Az együtthatók lehetnek racionális, valós vagy komplex számok, az egyetlen kikötés, hogy nem lehet nulla, emiatt nem lehet az azonosan nulla polinom.

A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre nem nulla.

TípusaiSzerkesztés

Ha a   polinom foka nulla, azaz konstans, akkor a függvény polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény.

Egyébként, ha a nevező foka nagyobb, akkor valódi racionális törtfüggvényről van szó.

Ha ez nem teljesül, akkor a racionális törtfüggvény nem valódi. Polinomosztással egy polinom és egy racionális törtfüggvény összegeként ábrázolható.

A táblázat mutat néhány példát a számláló különböző   fokaira és a nevező különböző   fokaira:

Példa Alternatív írásmód z = n = Függvénytípus
    3 0 racionális egészfüggvény
  1 2 valódi racionális törtfüggvény
    3 3 nem valódi racionális törtfüggvény
    2 1 nem valódi racionális törtfüggvény

TulajdonságaiSzerkesztés

Mivel  -nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.

Fokszám, rendszámSzerkesztés

Az m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg:

 

 

Fontosabb törtfüggvényekSzerkesztés

Fordított arányosságSzerkesztés

A görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:

 

(Az ábrán   együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)

 

Lineáris törtfüggvénySzerkesztés

A függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja.

Reciprok hatványfüggvénySzerkesztés

 

Pontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.

Reciprok polinomfüggvénySzerkesztés

Az n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1.

 

Az ábrán az   explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)

AszimptotikaSzerkesztés

A racionális törtfüggvényeknek szakadásuk van a nevező gyökeinél. Emellett még a végtelenben vett viselkedés is kérdéses.

A végtelenben vett viselkedés szempontjából a nevező és számláló foka döntő fontossággal bír. A szakasz további részében   a számláló,   a nevező fokszáma. Ha  , akkor  

  • tart  -hez, hogyha  , ahol   a szignumfüggvény.
  • tart  -hez, ha   (az aszimptota párhuzamos az  -tengellyel),
  • tart  -hoz (az  -tengely vízszintes aszimptota), ha  .

Ha  , akkor a második és a harmadik esetben ugyanaz a határérték, mint   esetén. A többi eset:

  • Ha   páros, akkor az érték ugyanaz, mint   esetén.
  • Ha   páratlan, akkor az előjel ellentettje az   értékének.

Ahogy majd később írjuk, polinomosztással a függvény felbontható egy polinom és egy valódi racionális törtfüggvény összegére. A polinom aszimptotikus görbét ad. A   speciális esetben ferde aszimptota adódik. Az aszimptotikus görbe vizsgálatával az   viselkedése egyszerűbben elemezhető.

Példák:

  • Az   lineáris törtfüggvény esetén a számláló foka   és a nevező foka  , így az   határérték  .
  • Az   racionális törtfüggvény számlálójának foka  , nevezőjének foka  ; a főegyütthatók   und  , tehát adódik az aszimptota egyenlete:  .
  • Az   racionális törtfüggvény számlálójának foka  , nevezőjének foka  ; az   és   főegyütthatókkal adódik, hogy

 , ha  . Mivel   páratlan, azért   határértékének előjele az előző ellentettje. A függvény írható úgy is, mint  , a ferde aszimptota egyenlete  , amivel az előbbi értékek könnyebben adódnak.

DiszkusszióSzerkesztés

Az   függvényterm grafikonjának elemzésére a következő diszkusszió végezhető.

SzimmetriaSzerkesztés

Mivel szakadásai a   gyökeiben vannak, a gyökök száma pedig véges, azért az   periodikusságáról nem lehet szó.

Egy polinomfüggvény akkor páros vagy páratlan, ha minden kitevője páros vagy páratlan. Ha a számláló és a nevező típusa is ilyen, akkor az   racionális törtfüggvény páros vagy páratlan. Nevezetesen:

  • Ha   és   egyszerre páros vagy páratlan, akkor a racionális törtfüggvény páros.
  • Ha   és   egyike páros, másika páratlan, akkor   páratlan.

Egyéb esetben nehéz   szimmetriáját meghatározni.

Példák:

  • Az   függvény szimmetrikus az origóra, mivel   páratlan és   páros, a függvény páratlan.
  • Az   függvény szimmetrikus az y tengelyre, mivel   és  is páratlan, így a hányados függvény páros. Kiemelve egy x-et a számlálóból és a nevezőből, egyszerűsíthetjük a függvényt az  . Mivel itt   és   páros, azért a hányados függvény is páros.
  • Az   függvényről nem lehet szimmetriát megállapítani az alakja alapján, de megmutatható, hogy szimmetrikus a P(1, 1) pontra, ugyanis:
      és
     .
Eszerint elvégezve az átalakításokat  , tehát szimmetrikus az szimmetrikus a P(1, 1) pontra. Egy alternatív módszer, hogy belátjuk, hogy a függvény megkapható  -ből eltolással, azaz 1-gyel x irányba, és 1-gyel y irányba.

Értelmezési tartomány, nevezetes pontokSzerkesztés

A racionális törtfüggvény nincs értelmezve a   polinom gyökeiben. Nullhelyei azok a helyek, melyek gyökei  -nek, de nem gyökei  -nak.

Speciális esetben az   valós szám mind a számlálónak, mind a nevezőnek gyöke. Polinomosztással kiemelhető egy vagy több   tényező mind a számlálóból, mind a nevezőből. Hogy hányszor, azt a gyök multiplicitásának nevezik.

  • Ha a nevezőben nagyobb a multiplicitás, akkor a hely pólushely, és a nevezőbeli multiplicitás a pólushely multiplicitása.
  • Különben a szakadás megszüntethető.

Példák:

  • Az   függvény értelmezési tartománya  , mivel a   nevezőnek nullhelye  . A függvénynek nullhelye van  -ben, mivel ez a   számlálónak egy olyan nullhelye, ami nem gyöke a nevezőnek.   kétszeres pólus.
  • Az   függvény értelmezési tartománya  . Itt azonban 1 a számláló és a nevező közös gyöke. Kiemelve az   tényezőt, adódik, hogy  . Innen   egyszeres pólus,   megszüntethető szakadás,   nullhely. Az   helyen nincs nullhely, mivel itt a függvény nincs értelmezve.   folytonos folytatására   és  .

AszimptotákSzerkesztés

Polinomosztással kapjuk a függvény   alakját, ahol   és   polinomok, és   fokszáma kisebb, mint   fokszáma. Az   függvény aszimptotikus viselkedését a   polinom határozza meg. A polinomosztást csak a harmadik és a negyedik esethez érdemes elvégezni.

  1.   → az x-tengely aszimptota:  
  2.   → függőleges aszimptota:  
  3.   → ferde aszimptota:   (a 4-es speciális esete)
  4.   → racionális egészfüggvény mint közelítőfüggvény, lásd approximáció

DeriváltSzerkesztés

A racionális törtfüggvények deriválásához általában a hányadosszabályt lehet használni, habár gyakran a láncszabály is hasznos lehet, például ha a nevező egy kéttagú összeg hatványa. A deriválás előtt előnyös elvégezni a polinomosztást, a számláló és a nevező közös tagjainak kiemelését egy külön tényezőbe, hogy a függvény alakja minél egyszerűbb legyen.

Példák:

  • Az   függvény esetén érdemes a láncszabályt is használni, mivel a nevezőben binom hatványa szerepel. A láncszabállyal a   nevező deriváltja:
     ,
így a teljes függvény deriváltja
 .
A számlálóban kiemelhetünk egy   tényezőt:
 .
  • Az   függvény polinomosztással
     
alakra hozható, ahonnan leolvasható a ferde aszimptota egyenlete:
 .
A számláló és a nevező tényezőkre bontása:
 ,

felismerhető és kiemelhető mindkét helyen egy   tényező. A deriválásra előkészített alak:

 ;

az egyszerűség kedvéért ebből az

 ;

tényezőt fogjuk deriválni. A hányadosszabállyal

 .

A szélsőértékek kereséséhez a deriváltat újra beszorozzuk az elhagyott tényezővel:

 .

Primitív függvénySzerkesztés

A racionális egészfüggvényekkel szemben a racionális törtfüggvényeknek gyakran viszonylag nehéz meghatározni a primitív függvényét. A racionális törtfüggvény alakja szerint a következő összefüggéseket lehet használni, amihez általában a megfelelő alakra kell hozni:

  ha  
  ha  
  vagy  
  ha  
  ha  
  ha  

Szükség lehet a parciális törtekre bontásra is. Példák:

  • Keressük az   függvény primitív függvényét. Polinomosztással:
     .
Az első szabály alkalmazásával a primitív függvény:
 .
  • Keressük az   függvény primitív függvényét, ha   abszolútértéke legfeljebb 0,5. Polinomosztással
     .
A negyedik szabállyal:
 .
  • Keressük az   függvény primitív függvényét. A függvény írható úgy is, mint
     , ahol  .
Az utolsó szabály primitív függvénye:
 .
  • Az   függvény primitív függvénye az   helyettesítéssel határozható meg, miután a nevezőt teljes négyzetté alakítottuk:
     
  • Az   primitív függvénye parciális törtekre bontással kapható a kiemelések után:
     

AlkalmazásokSzerkesztés

A természettudományokban és a technikában számos alkalmazásuk van a racionális törtfüggvényeknek:

  • Rögzített út megtételéhez szükséges idő és sebesség.
  • Adott mennyiségű oldott anyag koncentrációja fordítottan arányos az oldószer térfogatával.
  • Adott erő esetén a gyorsított test tömege és gyorsulása.
  • Egy síkkondenzátor   elektromos kapacitása a lemezek közötti   távolság függvényében:
 ,
ahol   a lemezek felülete,   a vákuum permittivitása, és   a permittivitás.
  • A fizika több területén is előkerül az   függvény a harmonikus középpel összefüggően. Ha az egyiket paraméternek tekintjük vagy adottnak vesszük, akkor a másik racionális törtfüggvénye adódik. KÉt másik függvény reciprokainak összegének reciprokáról van szó.
  • Az optikában egy lencse   gyújtótávolsága a tárgy   és a kép   távolságágából számítható:  ; átrendezve hasonló képlet adódik, de összeadás helyett kivonással.
  • Párhuzamos kapcsolás esetén két ellenállás,   és   együttes ellenállása:  . Hasonló teljesül két sorosan kapcsolt kondenzátor kapacitására.
  • A mechanikában ha két rugót egymás után függesztünk, és rugóállandójuk   és  , akkor az együttes rugóállandó  .
  • Feszültségelosztó esetén egy   ellenálláson eső   feszültség  , ahol   az elosztandó feszültség és   a másik ellenállás.
  • Egy   ellenállású fogyasztó által leadott   teljesítményére adódik, hogy  , ahol   feszültség és   a feszültségforrás belső ellenállása. A legnagyobb lehetséges teljesítmény:  .
  • Egy nem túl rövid   induktivitású tekercsre az   sugárral összefüggésben teljesül a következő:  , ahol   a tekercs hossza,   a menetek száma,   a mágneses mező konstansa.
  • Egy Atwood-féle gép esetén az   gyorsulás a következőképpen függ   és   tömegektől:  ;   tekinthető   vagy   racionális törtfüggvényének.
  • A geometria is felvethet olyan kérdéseket, amelyekre racionális törtfüggvény adja a választ: Egy test egy  ,  , és   élű téglatest és egy erre illesztett   magasságú,   sugarú félhenger egyesítése. Adott térfogat esetén a felszín:  .

Polinomok hányadostesteSzerkesztés

Az absztrakt algebrában a polinomok hányadosteste hasonlóan áll elő polinomokból. Egy   test fölötti   változós polinomgyűrű hányadostestéről van szó absztrakt értelemben.

A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a

 

és a

 

kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott   osztható  -gyel, és a hányados  . De ha  -et és  -et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen   értelmezhető az   helyen,   viszont nem.

Véges test fölött a különbségtétel még egyszerűbb:   (maradékosztályok teste modulo egyp prímszám) fölött definiált hányadostestben   jóldefiniált racionális függvénye  -nek, habár szűkebb értelemben véve nem függvény, mivel sehol sem értelmezhető.

Ugyanis behelyettesítve   elemeit, kapjuk, hogy  , ami nem értelmezhető, hiszen   a kis Fermat-tétel miatt azonosan nulla. Végtelen test fölött ugyanez nem fordulhat elő, csak viszonylag kevés helyen nincs egy racionális törtfüggvény értelmezve. A Zariski-topológia szerint azok a helyek, ahol a függvény nincs értelmezve, Zariski-zárt halmazt alkotnak, és az értelmezési tartomány lezártja a teljes halmaz.

Legyen   varietás, amit az   polinomok definiálnak. Azaz

  esetén. Vagyis
 

Az egfész függvények gyűrűje  . A racionális függvények teste ennek hányadosteste.

Általánosabb a racionális leképezések fogalma, azaz a kvázi-projektív varietásoké. A racionális függvények egy varietás  -be menő racionális leképezéseinek speciális esetei.

ForrásokSzerkesztés

A Wikimédia Commons tartalmaz Racionális törtfüggvény témájú médiaállományokat.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rationale Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

IrodalomSzerkesztés

  • Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
  • Dr. Hack & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok,…(Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7
  • Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)
  • Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
  • Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
  • Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.