Agnesi-féle görbe

Agnesi-féle görbe (ejtsd: Anyeszi) síkgörbe, algebrai görbe, nevét Maria Gaetana Agnesi (1718–1799) olasz nyelvész, matematikus és filozófus után kapta.

Szerkesztése az ábra jelöléseivel: Jelöljünk ki egy kör kerületén egy O pontot. Húzzuk meg az OA szelőt, az A pont a kör tetszőleges másik pontja. Az M pont az O pont átmérőjén lévő átellenes kör-pont. Az OA szelő N pontban metszi a körhöz az M pontban húzott érintőt. Az N pontban OM-el húzott párhuzamos egyenes és erre az A-ban állított merőleges a P pontban metszi egymást. Az A pont helyének változtatásával ilyen módon megszerkesztett P pontok az Agnesi-féle görbe mértani helyét alkotják.

A görbe aszimptotája a körhöz O pontban húzott érintő, a görbe szimmetrikus az OM egyenesre.

EgyenleteiSzerkesztés

 
Az Agnesi-féle görbe szerkesztését mutató animáció

Legyen O pont az origó és M a pozitív y-tengelyen. Legyen a kör sugara a. Ekkor a görbe egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

 .

Ha a=1/2, ez az egyenlet ilyen alakra egyszerűsödik:

 

Egy paraméteres egyenletrendszere, ha   az OM és OA egyenesek által bezárt szög az óramutató járása szerint mérve:

 

Egy másik paraméteres egyenletrendszer esetén legyen   az OA egyenes és az x-tengely által bezárt, az óramutató járásával ellenkező irányban növekvő szög:

 

TulajdonságaiSzerkesztés

 
Agnesi-féle görbék a=1, a=2, a=4 és a=8 állandóval.
  • Az   csúcspontban a görbületi sugár:
 
 

és

 .

Ezekben a pontokban az érintők meredeksége:

 

és

 
  • A görbe és aszimptotája közötti terület négyszerese a származtató kör területének, azaz
 .
  • A görbének, mint meridiángörbének az aszimptota körüli megforgatásával származtatott forgástest térfogata:
 .
  • A görbe súlypontja a   pont.

ForrásSzerkesztés

  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091