Főmenü megnyitása

Síkgörbe-1.jpg

A síkgörbék egydimenziós síkbeli ponthalmazok [forrás?]. Vannak összefüggőek és több ágra osztottak, korlátosak és végtelenbe nyúlók. Némelyek alig, mások jobban eltérnek az egyenestől. Az egyszerű görbéken nincsenek hurkok, más görbék önmagukat metszik. A síkgörbéket többféle gyakorlati és elméleti vizsgálatnál használjuk. Megadásuk, definíciójuk nagyon változatos. Sok nevezetes görbe többféleképpen értelmezhező, ennek következtében a görbék osztályozására nem kerülhet sor, csupán jellemző típusokat tudunk kiemelni.(A matematikai elemzés során az egyenest is közéjük soroljuk.)

Fontosabb görbetípusokSzerkesztés

Differenciálgeometriai leírásSzerkesztés

A síkgörbét a térgörbék speciális eseteként kezeljük. A térbeli derékszögű koordináta-rendszer (X;Y) síkjában fekvő görbe leírható

(a) --   vektor-skalár függvénnyel,
(b) --   paraméteres egyenletrendszerrel,
(c) --   implicit egyenlettel,
(d) --   explicit egyenlettel,

valamint ez utóbbi három alakban polárkoordinátákkal:

(e) --  
(f) --  ,
(g) --  .

Hasonló formulák használhatók más koordináta-rendszerekben.

A görbe lokális jellemzőiSzerkesztés

ÍvhosszSzerkesztés

A görbeszakasz s ívhossza a ds ívelem integrálja a [t..t+dt] intervallumban:

 
 

ÉrintőSzerkesztés

Az görbe adott pontjában az érintő irányú   vektor a vektor-skalár függvény t szerinti első deriváltja:

 

NormálisSzerkesztés

A görbe adott pontjában az érintőre merőleges   vektor a vektor-skalár függvény t szerinti második deriváltja:

 

GörbületSzerkesztés

Az érintő irányváltozásának a pályamenti sebessége, az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja:

 .

A görbületi sugár (a simulókör sugara) a görbület reciproka:

 .

Különleges pontokSzerkesztés

Inflexiós pontSzerkesztés

Az inflexiós pontban a görbület  , a két csatlakozó görbeíven ellentétes előjelű. Az inflexiós pontban az érintő metszi a görbét.

 

CsúcspontSzerkesztés

Olyan pont, ahol a görbületnek (lokális) maximuma/minimuma van.

Szinguláris pontokSzerkesztés

Kettős (többszörös) pont, ahol a görbe önmagát metszi.
Izolált pont: a többi résztől különálló, de a leképezés kép-pontja.
Töréspont: az érintő ugrásszerűen megváltozik ( ).
Hegy: a pontban az érintő ellentétes irányúra változik.
Simulópont: ahol a görbe önmagát érinti, közös a két ív érintője.
Végpontok: a nem csatlakozó ívdaraboké és a korlátos görbéké.
Aszimptotikus pont: az egy pontra zsugorodó spirális határértéke.

 

ForrásSzerkesztés

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
  • Courant – Robbins: Mi a matematika? Gondolat, 1966.
  • Reiman István: Matematika, Műszaki Könyvkiadó, 1992.
  • Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH Atlasz-Matematika, Springer-Verlag, 1993.