Polárkoordináta-rendszer

(Polárkoordináták szócikkből átirányítva)

A matematikában és a geodéziában a polárkoordináta-rendszer olyan kétdimenziós koordináta-rendszer, mely a sík minden pontját egy szög és egy távolság adattal látja el. Tulajdonképpen itt a sík egy paraméterezéséről beszélhetünk. A polárkoordináták a sík egy kitüntetett pontjától mért távolságból és egy, a ponton átmenő, vektorosan definiált egyenestől mért irányszögből állnak. Konkrétan a hozzárendelés, mely a sík derékszögű koordináta-rendszerben megadott (x,y) koordinátájú pontjait ellátja polárkoordinátákkal a következő kapcsolatban van a derékszögű koordinátákkal:

A polárkoordinátázás a sík egyfajta görbevonalú bekoordinátázása. Koncentrikus körök és sugárirányú egyenesek alkotják a hálózatot

ahol r a sík P(x,y) pontjának origótól mért távolsága (nemnegatív szám), φ pedig az x tengely és az OP szakasz irányított szögtávolsága (ez radiánban 0 és 2π közötti érték, fokban 0° és 360° közötti). A koordinátavonalakat ebben a rendszerben egyfelől azon pontok alkotják, melyek mentén a φ koordináta állandó, vagyis az origóból induló félegyenesek, másrészt azok, amelyek mentén r állandó, vagyis az origó középpontú körök. A matematikában a szög előjeles, a pozitív forgásirány az óramutató járásával ellentétes irány. A geodéziában az óramutató járása szerinti irány a pozitív. A polárkoordinátarendszerek a derékszögű görbevonalú koordinátarendszerek speciális esetei.

A polárkoordináta rendszert olyankor célszerű használni az elterjedtebb Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerrel szemben, ha a pontok helyének megadása egyszerűbb távolságokkal és szögekkel, mint két egymásra merőleges szakasz hosszával. Ilyen terület például a geodézia, ahol a derékszögű koordináta-rendszer az ortogonális mérésnek felel meg, amit mérőszalaggal és derékszögprizmával végeznek. A pontos szögmérő műszerek (teodolit) elterjedésével a poláris mérés került előtérbe, amely távolság- és szögmérési adatokból számít koordinátákat.

DefinícióSzerkesztés

Amikor polárkoordinátával jellemezzük a sík egy P pontját, akkor a pontot két adatával adjuk meg. Ehhez először rögzítenünk kell egy középpontot, a pólust (vagy a derékszögű koordináta rendszerrel történő összevetésben az origót), továbbá egy origó végpontú félegyenest, mely a kezdő irányt rögzíti. A polárkoordináták közül a távolsági adat a kezdőponttól adott távolságban lévő pontok halmazát, azaz egy kört határoz meg. Az irányszög a kezdő iránytól adott szögben látszó pontok halmazát, azaz egy félegyenest határoz meg. A körív és a félegyenes metszéspontja lesz a polárkoordinátákkal megadott pont.

Az r-rel jelölt koordináta, a sugár, a pont origótól mért távolsága, néha R-rel vagy ρ-val is jelölik. Ha O jelöli az origót és OA jelöli a kezdő irány félegyenesét, akkor a P pont φ koordinátája nem más, mint az OP félegyenes és az OA félegyenes irányított szöge. Az irányítás azt jelenti, hogy a szöget az OA félegyenestől az óramutató járásával ellentétes körüljárással mérjük. A szöget gyakran még θ-val, α-val és még sok mással is jelölik. A szög megadása az SI-nek megfelelő módon radiánban történik, de sokszor természetesen fokokat is használnak.

Átváltás a derékszögű és polárkoordináták közöttSzerkesztés

Világos, hogy ha az r és a φ adott a sík egy P pontjára vonatkoztatva, akkor az szögfüggvények 90°-nál nagyobb szögekre való kiterjesztésének definíciója folytán a derékszögű koordinátákba való átváltás a következő. Ha a kezdő irányt az x tengelynek fogjuk fel és ennek origó körüli +90°-os elforgatottját az y tengelynek, akkor a derékszögű koordináták:

 
 

Ha a derékszögű koordináták az adottak, akkor az x és y adatokból a távolságot például a Pitagorasz-tétellel számíthatjuk:

 

A φ értékéhez a szögfüggvényértékek visszakeresésének módszerével juthatunk. Itt természetesen vigyázni kell arra – mint minden esetben, amikor trigonometrikus értékekből következtetünk vissza szögértékre –, hogy helyes szöget adjon vissza a számítás. Ehhez a következőket kell szem előtt tartani.

  •   = 0 esetén φ a polárkoordináta-rendszerben határozatlan, azaz bármely valós érték alkalmas lenne az origó szögének jellemzésére, hiszen ez az érték egyáltalán nem jellemzője az origónak
  •   ≠ 0 esetén ahhoz, hogy a φ polárkoordinátára egyetlen értéket kapjunk, 2π hosszúságú intervallumra kell korlátozódnunk. A szokásos tartományok [0, 2π) vagy (-π, π].

[0, 2π) illetve [0, 360°) intervallumba eső szög eseténSzerkesztés

A [0, 2π) tartományban az inverz szögfüggvények (arkusz függvények) segítségével kapjuk meg φ-t:

 

Az árkusz koszinusz leegyszerűsíti az esetszétválasztást:

 

(−π, π] illetve (−180°,180°] intervallumba eső szög eseténSzerkesztés

A (-π, π] tartományban pedig a φ polárszög értéke:

 

Egyes programozási nyelvek és alkalmazások tartalmaznak egy arctan2(x, y) függvényt, ami figyelembe veszi a fenti esetszétválasztást, és tetszőleges   esetén képes φ értéket számolni.

Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az   koordinátájú pontot azonosítjuk a   komplex számmal, és az

 

szöget az   argumentumfüggvénnyel számoljuk.

Az árkusz koszinusz segítségével az esetszétválasztás egyszerűsíthető:

 

A középponti és a kerületi szögek tételéből tudjuk, hogy egy körben a középponti szög kétszer akkora, mint a hozzá tartozó kerületi szög. Így a   szög kiszámítása az árkusz tangens használatával is egyszerűsíthető:

 

A szög eltolásaSzerkesztés

Egyes alkalmazásokban más szögtartományokat használnak. Legyen   az alsó határ! Ekkor az

 

egyenlet a   szöget a kívánt intervallumba transzformálja, így az is teljesül, hogy  . Itt   az alsó egészrész, vagyis   minden   valós számhoz a legnagyobb egész számot rendeli, ami nem nagyobb, mint  .

KoordinátavonalakSzerkesztés

Egy   koordinátákkal adott pont koordinátavonalai:

  és
 ,

azaz egy, a középpontból kiinduló félegyenes, és egy origó körüli   sugarú kör.

Példák polárkoordinátákraSzerkesztés

Egyes algebrai görbék polárkoordinátás egyenletekkel definiálhatók. Sok esetben az ilyen egyenletek egyszerűen az   sugarat θ függvényében adják meg. Az eredményül kapott görbe pontjait   alakban kapjuk meg és a görbét   polárkoordinátás függvény grafikonjának tekinthetjük.

A szimmetria különböző estei az   függvényből vezethetők le. Ha   =  , akkor a görbe szimmetrikus a (0°/180°) egyenesre, ha   =  , akkor a függőleges (90°/270°) egyenesre szimmetrikus és ha   =  , akkor a görbe centrálisan szimmetrikus az origóra.

Bizonyos görbék függvénye sokkal egyszerűbben írható fel polárkoordináták segítségével, mint derékszögű koordinátákkal. Az ismertebbek közé tartozik az arkhimédészi spirál, a lemniszkáta, a Pascal-féle csigagörbe és a kardioid.

KörSzerkesztés

Az ( 0, φ) középpontú és   sugarú kör általános egyenlete

 

Ez különböző módon egyszerűbbé tehető, hogy egyes speciális eseteknek megfeleljen, például ez az egyenlet

 

olyan   sugarú kört ír le, melynek középpontja a pólusban van.

EgyenesSzerkesztés

 
A   tartományban az
  =   egyenlettel leírható arkhimédészi spirál egyik ága

Sugárirányú egyenesek (vagyis, amelyek a póluson átmennek) egyenlete:

 ,

ahol φ az egyenes szöge, azaz φ = arctan  , ahol   az egyenes meredeksége (iránytangense) derékszögű koordináta-rendszerben. Nem sugárirányú egyenes egyenlete, mely a sugárirányú   = φ egyenletű egyenesre merőleges és azt a ( 0, φ) pontban metszi:

 

Arkhimédészi spirálSzerkesztés

Az arkhimédészi spirál egy Arkhimédész által felfedezett híres spirális görbe, melyet szintén le lehet írni egyszerű polárkoordinátás egyenlettel:

 

Az a paraméter változtatásával megfordul a spirális, a b viszont a spirális egy sugárhoz tartozó pontjainak távolságát adja meg, ami egy spirálisnál állandó érték. Az arkhimédészi spirálnak két ága van, az egyikre θ > 0, a másikra θ < 0. A két ág simán csatlakozik egymáshoz a pólusban. Az egyik ág tükörképe a 90°/270° egyenesre, mint tükörtengelyre a másik ágat adja. Ez a görbe az egyik első görbe volt a kúpszeletek után, mely a matematikai értekezésekben például szolgált a polárkoordinátás leírásra.

KúpszeletekSzerkesztés

A kúpszelet polárkoordinátás egyenlete, ha a pólusban van az egyik fókusza és a másik valahol a 0°-os sugáron (így a főtengelye a poláris tengelyen fekszik):

 

ahol e az excentricitás, és   a semi-latus rectum (a fókuszból a főtengelyre a görbéig húzott egyenes szakasz hossza, ld. az ábrát). Ha e > 1, akkor az egyenlet hiperbolát definiál, ha e = 1, akkor a parabola egyenlete, míg e < 1 esetén a görbe ellipszis. Speciális eset az e = 0 az utóbbinál, amikor is az ellipszis   sugarú körré fajul.

Komplex szám trigonometrikus alakjaSzerkesztés

 
Egy z komplex szám ábrázolása a komplex síkon
 
Egy z komplex szám ábrázolása az Euler-formula segítségével

Minden komplex szám felfogható úgy, hogy az egy pont a komplex síkon, és így kifejezhető, mint egy derékszögű koordináta-rendszer egy pontja, vagy egy pont a polárkoordináta rendszeren. Derékszögű koordináta-rendszerben egy z szám így írható fel:

 

ahol i a képzetes egység, vagy polárkoordinátás alakba átírva:

 

és innen

 

ahol e az Euler-féle szám, melyek azonosak az Euler-formula értelmében.

(Megjegyzendő, hogy ez a képlet ugyanúgy, mint minden más összefüggés, mely szögek hatványait tartalmazza, feltételezi, hogy a szögek radiánban vannak megadva.) A komplex számok derékszögű és polárkoordinátás alakjai közötti konverzió a fentebb leírt szabályok szerint történik.

A komplex számok szorzása, osztása és hatványozása általában sokkal egyszerűbb a poláris alakkal, mint a derékszögű változattal. A hatványozás szabályai szerint

  • A szorzás:
 
  • Az osztás:
 
 

Polárkoordináta-transzformáció az analízisbenSzerkesztés

Polárkoordináta-transzformációt gyakran alkalmaznak olyan kétváltozós függvények esetén, melyek valamilyen középpontos szimmetriát mutatnak. Ekkor az D &sunbe; R × R halmazon értelmezett

 

függvény helyett az

 

függvényt vizsgálják, ahol a

 

leképezés a polártranszformáló függvény.

Megjegyzendő, hogy G csak majdnem mindenhol injektív. G legbővebb injektivitási tartománya a

 

Folytonosság, határértékSzerkesztés

Kétváltozós függvény origóbeli határértékének létezését polárkoordinátákban a következőképpen mutathatjuk ki. Ha f kétváltozós függvény és A valós szám, akkor

 

Például az

 

függvénynek létezik az origóban határértéke, mert az x = r   cos(φ), y = r   sin(φ) helyettesítéssel:

 

amely (0-hoz tartó)   (korlátos) alakú és így a 0-hoz tart. Míg az

 

függvénynek nem létezik az origóban határértéke, helyettesítve az

 

függvényt kapjuk, ami az φ = 0 esetén a 0 értéket veszi föl, de φ = π/4-re az 1/2-et adja, így létezik két irány, amelyek felől a 0-hoz tartva az r-rel a függvényértékek sorozata nem azonos számokhoz tart.

Polárkoordinátás görbe érintőjeSzerkesztés

Az   poláris görbe érintője meredekségének meghatározásához bármelyik pontban először írjuk át a görbe egyenletét paraméteres egyenletrendszerbe:

 
 

Mindkét egyenletet θ szerint deriválva ezt kapjuk:

 
 

A második egyenletet az elsővel osztva megkapjuk a görbe egy tetszőleges (r ) pontjában az érintő meredekségét a derékszögű koordináta-rendszerben:

 

Szektortartomány területeSzerkesztés

 
Az R integrálási területet az   görbe és a θ = a és a θ = b sugár határolja.
 
Az R területet n darab egyenlő ívű körcikkel közelítjük (itt n = 5).

Jelölje R azt a területet, melyet az   görbe és a   = a és   = b zár közre, ahol 0 < b − a < 2π. Ekkor az R területe:

 

Ez az eredmény a következőképpen vezethető le. Először az [ab] intervallumot n számú részre bontjuk, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. Így a részek Δθ ívhossza b − a (a terület teljes ívhossza) osztva a részek számával. Minden egyes i = 1, 2, …, n résznél legyen   a rész szögfelezője és szerkesszünk olyan körcikket, melynek középpontja a pólus, sugara  , középponti szöge   és ívhossza  . Az egyes körcikkek területe ennélfogva:  . Következésképpen a körcikkek összterülete:

 

A részterületek n számának növelésével a terület közelítése javul. Ha n → ∞, az összeg a fenti integrál Riemann összegéhez tart.

IntegráltranszformációSzerkesztés

G folytonosan differenciálható (sőt, analitikus) az értelemzési tartománya belsején, Jacobi-mátrixa:

  és ennek determinánsa:  

Legyen tehát a kétváltozós f valós függvény integrálható egy olyan TR×R tartományon, mely polárkoordináta-hálózathoz jól illeszkedik. Ekkor az eredetileg x és y paraméterekkel megadott T = Tx,y tartományon az integrál kiszámítását visszavezethetjük a (0,+R) × (0,2π) tégla egy feltehetőleg T-nél alkalmasabb

 

részhalmazán történő integráljára:

 

VektoranalízisSzerkesztés

A vektoranalízist szintén lehet alkalmazni a polárkoordinátákra. Legyen   egy   helyvektor, ahol r és   a t idő függvénye,   pedig egy   irányú egységvektor,   pedig egy  -re merőleges egységvektor. A helyvektor idő szerinti első és második deriváltja:

 
 

Lokális bázisvektorok és ortogonalitásSzerkesztés

Egyenes vonalú koordinátarendszerekben (lásd: affin koordinátarendszer) a teljes vektortérnek van bázisa. Görbe vonalú koordinátarendszerekben minden pontban külön bázissal kell számolni. A helyi   és   bázisvektorok a koordinátavonalak érintői, és a görbeegyenletekből adódnak azok paraméter szerinti deriválásával. Ugyanehhez az eredményhez eljuthatunk az   helyvektor koordinátatranszformációjának parciális deriválásával az   és   koordináták szerint:

 

illetve

  és  .

A bázisvektorok hossza

  és  

és ortogonálisak egymásra, mivel:

 .

Így a koordinátavonsalak merőlegesek egymásra, tehát a polárkoordináta-rendszer ortogonális koordinátarendszer.

A tenzorszámításban a koordinátavonalakhoz érintőleges lokális koordinátarendszerek a koordinátatranszformációk során kovariánsan viselkednek.

Metrikus tenzorSzerkesztés

Egy kovariáns   metrikus tenzor komponensei a kovariáns helyi bázisvektorok skaláris szorzatai:

 .

Az előző szakasz eredményeit felhasználva:

 .

FunkcionáldeterminánsSzerkesztés

A polárkoordinátákról az   Descartes-koordinátákra való áttérés funkcionáldeterminánsa a Jacobi-mátrix determinánsa:

 

FelszínelemSzerkesztés

 
  szélességű és   magasságú felszínelem polárkoordinátákkal

A funkcionáldeterminánssal adódik a felszínelem polárkoordinátákban:

 

A felszínelem értelmezhető differenciális téglalapként, melynek szélessége   és magassága  .

VonalelemSzerkesztés

A fenti

 
 

transzformációegyenletekből következik, hogy

 
 

A kartesiánus vonalelemre teljesül, hogy:

 

amiből a polárkoordinátákra:

 

Sebesség és gyorsulás polárkoordinátákbanSzerkesztés

A mozgást sugaras és a rá merőleges érintőleges irányra bontjuk. Az   sebességvektorra teljesül, hogy:

 

ahol   és   egységvektorok.

Az   gyorsulásra:

 

TörténeteSzerkesztés

A szög és a távolság fogalmakat az ókorban a Krisztus előtti első évezredben már ismerték. Hipparkhosz elsőként (190–120) állított elő húrtáblázatot (a szinusztáblázat ősét), hogy a húr hosszának ismeretében meg lehessen találni a hozzá tartozó szöget. Ennek segítségével tudott polárkoordinátákat használni, és ezzel meghatározni bizonyos csillagok helyét. Műve azonban csak a koordinátarendszernek csak egy részét ismertette.[1]

Arkhimédész A spirálokról című művében írt spirálokról, ahol a sugár a szög függvényében változik (lásd arkhimédészi spirál). Azonban ő sem írt a teljes koordinátarendszerről.

Különböző leírások készültek arról, hogyan definiálható a polárkoordináta-rendszer egy formális koordinátarendszer részeként. A téma történetét Julian Coolidge, a Harvard professzora foglalta össze Origin of Polar Coordinates című könyvében.[2] Eszerint Grégoire de Saint-Vincent és Bonaventura Cavalieri egymástól függetlenül vezették be a fogalmat a 17. század közepén. Saint-Vincent magánjellegű feljegyzéseiben 1625-ben írt róla, és 1647-ben jelentette meg művét. Cavalieri 1635-ben adta ki az első változatot, és az újabb, javított változatot 1653-ban. Cavalieri arra használta, hogy megoldjon egy arkhimédészi spirállal kapcsolatos problémát. Később Blaise Pascal polárkoordináta-rendszerrel számította ki parabolikus szögek hosszát.

Sir Isaac Newton az 1671-ben megírt, és 1736-ban kiadott Method of Fluxions című művében polárkoordináta-rendszerek közötti transzformációkról írt, a „Seventh Manner; For Spirals“ fejezetben. Emellett még kilenc más koordinátarendszert is bevezetett.[3]

Jakob Bernoulli az Acta Eruditorum (1691) szakmai folyóiratban alkalmazott egy rendszert, ami egy egyenesből és egy rajta kijelölt pontból állt, melyet pólusnak nevezett. A koordinátákat a pólustól mért távolság és az egyenessel bezárt szög határozta meg. Bernoulli munkája bevezette a simulókör fogalmát is, melyet ezekkel a koordinátákkal határozott meg.

Gregorio Fontana a 18. században bevezette a polárkoordináták fogalmát az olasz nyelvbe. George Peacock 1816-ban bevezette ezt az angol nyelvbe, amikor Sylvestre Lacroix művét, a Differential and Integral Calculust fordította. [4][5]

Elsőként Alexis-Claude Clairaut gondolta tovább a polárkoordinátákat három dimenzióba, azonban ez végül csak Leonhard Eulernak sikerült.[2]

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Polar coordinate system című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Polarkoordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Michael Friendly: Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization
  2. a b Julian Coolidge (1952). „[www-history.mcs.st-and.ac.uk The Origin of Polar Coordinates]” (59).  
  3. C. B. Boyer (1949). „Newton as an Originator of Polar Coordinates” (56).  
  4. Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
  5. David Eugene Smith.szerk.: Ginn and Co.: History of Mathematics (1925) 

ForrásokSzerkesztés

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961
  • W. Werner. Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Springer Vieweg