A matematikában a Jacobi–Anger-azonosság (más néven Jacobi–Anger-kiterjesztés) a trigonometrikus függvények exponenciálisainak kiterjesztése a harmonikusaikra alapozva.
Ez a kiterjesztés hasznos lehet a fizikában (például síkhullámok és hengerhullámok konvertálásakor) és a jelfeldolgozás területén (FM-jelek leírása).
Az azonosságot két 19. századi matematikus, Carl Jacobi és Carl Theodor Anger után nevezték el.
Az azonosság legáltalánosabb alakja: [1][2]
![{\displaystyle e^{iz\cos \theta }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc10fc5c855ef748c6e68a1acc73d9ef59f05d0b)
és
![{\displaystyle e^{iz\sin \theta }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)e^{in\theta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3cfa284da3c24a66aea2e1f1cc9b920d4670a0)
ahol
az n. Bessel-függvény.
Felhasználva a
összefüggést, n egész számra érvényes módon, kapjuk:[1][2]
![{\displaystyle e^{iz\cos \theta }=J_{0}(z)\,+\,2\,\sum _{n=1}^{\infty }\,i^{n}\,J_{n}(z)\,\cos \,(n\theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00df7f589a7a3cf5e3b66a6c3657f6748e104aa4)
A következő valós értékű változatok is hasznosak lehetnek:[3]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&=-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&=2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c4b2a248ef40e94d63163d2d15a7fa71112079)
- Colton, David; Kress, Rainer: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, "Chapter 9". (hely nélkül): New York: Dover. 1998. 355. o. ISBN 978-0486612720
- Cuyt, Annie; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William: Handbook of continued fractions for special functions. (hely nélkül): Springer. 2008. ISBN 978-1-4020-6948-2
- ↑ a b Colton & Kress (1998) p. 32.
- ↑ a b Cuyt et al. (2008) p. 344.
- ↑ Abramowitz & Stegun (1965) p. 361, 9.1.42–45