Jordan-függvény

A számelméletben egy n Jordan-függvénye rögzített k pozitív egész esetén azoknak a k-asoknak a száma, amelyekben minden szám pozitív egész, és legfeljebb n, továbbá a benne levő számok n-nel együtt relatív prím k + 1-est alkotnak. Ez az Euler-függvény általánosítása, ami J1. A függvényt Camille Jordan után nevezték el.

TulajdonságokSzerkesztés

A Jordan-függvény multiplikatív, és értéke

 
 ,

ami a Dirichlet-konvolúcióval

 

és Möbius-inverzióval

 .

Mivel μ Dirichlet-generátorfüggvénye 1/ζ(s) és nk Dirichlet-generátorfüggvénye ζ(s-k), azért a Jk sora

 .

A Jk(n) átlagrendje

 .

A Dedekind-féle pszi-függvény kifejezhető Jordan-függvénnyel:

 ,

és a definícióra való tekintettel, felismerve, hogy minden tényező a prímek feletti szorzatban a p-k körosztási polinomja igazolható, hogy   vagy   egész értékű multiplikatív függvény.

 .      [1]

Mátrixcsoportok rendjeSzerkesztés

Az m rendű, Zn fölötti mátrixok általános lineáris csoportjának rendje[2]

 

Az m rendű, Zn fölötti mátrixok speciális lineáris csoportjának rendje

 

Az m rendű, Zn fölötti mátrixok szimplektikus csoportjának rendje

 

Az első két képletet még Jordan fedezte fel.

PéldákSzerkesztés

Explicit listák az OEIS-ben J2  A007434, J3  A059376, J4  A059377, J5  A059378, J6-tól J10-ig  A069091 egészen  A069095-ig.

Az arányokkal definiált multiplikatív függvények J2(n)/J1(n)  A001615, J3(n)/J1(n)  A160889, J4(n)/J1(n)  A160891, J5(n)/J1(n)  A160893, J6(n)/J1(n)  A160895, J7(n)/J1(n)  A160897, J8(n)/J1(n)  A160908, J9(n)/J1(n)  A160953, J10(n)/J1(n)  A160957, J11(n)/J1(n)  A160960.

A J2k(n)/Jk(n) arányokra példák: J4(n)/J2(n)  A065958, J6(n)/J3(n)  A065959, és J8(n)/J4(n)  A065960.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Holden et al in external links The formula is Gegenbauer's
  2. Andrici és Priticari

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Jordan's totient function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.