Dedekind-féle pszi-függvény
A számelméletben a Dedekind-féle pszi-függvény egy pozitív egészeken értelmezett multiplikatív függvény. Értéke
ahol a szorzat az n hely prímosztóit futja be. A ψ(1) üres szorzat, értéke 1. Richard Dedekind vezette be a moduláris függvényekhez kapcsolódóan.
A ψ(n) értékei az első néhány helyen:
Ha n egynél nagyobb, akkor ψ(n) > n, és minden n > 2 esetén páros. Ha n négyzetmentes szám, akkor ψ(n) = σ(n).
A ψ függvény definiálható úgy is, mint ψ(pn) = (p+1)pn-1, minden p prímre, és a többi helyre a multiplikatív tulajdonsággal kiterjeszthető. Ebből levezethető a generátorfüggvény kapcsolata a Riemann-féle zéta-függvénnyel:
Ez abból is következik, hogy , ahol * a Dirichlet-konvolúció.
Általánosítás
szerkesztésMagasabb rendekre is definiálható a Jordan-függvény felhasználásával:
vagy Dirichlet-sorral:
- .
Kifejezhető, mint egy hatványfüggvény és a Möbius-függvény négyzetének Dirichlet-konvolúciója:
- .
Jelölje a
a négyzetszámok karakterisztikus függvényét. Ekkor egy másik Dirichlet-konvolúcióval az osztóösszeg-függvény általánosításai is kifejezhetők:
- .
Források
szerkesztés- Goro Shimura. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. Princeton (1971) (page 25, equation (1))
- Carella, N. A. (2010). "Squarefree Integers And Extreme Values Of Some Arithmetic Functions". arXiv:1012.4817.
{{cite arXiv}}
: Cite has empty unknown parameter:|1=
(help) - Mathar, Richard J. (2011). "Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions". arXiv:1106.4038.
{{cite arXiv}}
: Cite has empty unknown parameter:|1=
(help) Section 3.13.2 - A065958 a ψ2, A065959 a ψ3, és A065960 a ψ4
Fordítás
szerkesztésEz a szócikk részben vagy egészben a Dedekind psi function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.