Kényszermozgás (fizika)

A kényszermozgás kényszerfeltétel(ek)nek alávetett tömegpont vagy más fizikai rendszer mozgása.

KényszererőSzerkesztés

Ha a kényszer egy megadott felületen való mozgást jelent, ez egy kényszererővel vehető figyelembe. A felület egy   egyenlettel adható meg.

Ha nincs súrlódás, akkor a felület támasztókényszerként működik, a mozgás minden pillanatában, tehát a kényszererő iránya mindig merőleges a felületre.
Mivel egy felület gradiense is egy merőleges vektor a mondott felületre, a kényszererőt általános alakban

 

kifejezéssel adhatjuk meg.

Ha a súrlódás nem hanyagolható el, akkor a kényszererőnek lesz egy a felület érintő irányába eső komponense is. A Coulomb-súrlódás törvénye szerint a súrlódási erő nagysága arányos a felületre merőlegesen ható nyomóerővel, iránya pedig ellentétes a mozgás sebességvektoráéval, vagyis:

 .

Ezeket figyelembe véve a kényszerfelületen mozgó anyagi pont mozgástörvénye:

 ,

vagyis így a tömegpont már szabad mozgásúnak tekinthető.

A kényszermozgások általában a Lagrange-féle mozgásegyenletek segítségével tárgyalhatók.

Lagrange-féle mozgásegyenletekSzerkesztés

<Joseph Louis Lagrange nevéről>

A Lagrange-féle mozgásegyenletek az anyagi rendszerek mozgását előnyös matematikai megfogalmazásban leíró egyenletek.

Elsőfajú Lagrange-féle mozgásegyenletekSzerkesztés

Az elsőfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek a kényszerfeltételeknek alávetett mechanikai rendszerek mozgásegyenletei.

Az általában geometriai eredetű (azaz adott felületen vagy görbén való mozgást előíró) kényszer legtöbbször egy kényszererő formájában vehető figyelembe, az eredeti Newton-féle mozgásegyenleteknél a külső és belső szabad erők (F) mellett a kényszererőt (F′) is figyelembe kell venni:

 ,

ahol m a tömeg,   a helyvektor,   a gyorsulás. Azaz a kényszererők és szabaderők együttes hatására az anyagi pont úgy mozog, mintha szabad mozgást végezne. Konkrét számításokhoz azonban nem használható, hiszen nemcsak a gyorsuláskomponenseket, de a kényszererő komponenseit sem ismerjük.

Az  -ről feltehetjük, hogy mindig merőleges a mozgást tartalamzó felületre, ezért (mivel az f felületre a grad f gradiensvektor is merőleges) írhatjuk:  . (Az - egyelőre - meghatározatlan   tényező neve: Lagrange-féle multiplikátor.) Az így kapott

 
 

egyenletrendszerből az ismeretlen r = r(t) és   kiszámítható.

Ha pl. a kényszerfeltétel előírása szerint az anyagi pontnak egy görbén kell mozognia, akkor a görbe az   és   egyenletek által megadott felületek metszésvonalának tekinthető, s a kényszererő   alakban írható, mivel a kényszererő a két előírt felületre merőleges. Így az előírt görbén mozgó anyagi pont mozgásegyenlete így alakul:

 ,

amihez csatolni kell a két felület :  és   egyenleteit.

Másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletekSzerkesztés

Számtalan mechanikai probléma megoldása lényegesen egyszerűsödik, ha derékszögű koordináta-rendszer helyett más koordinátákat választunk. Ha az n számú anyagi pontból álló mechanikai rendszer r számú kényszerfeltétele holonom, vagyis   (ahol k = 1,2,...,r) alakban adható meg, a 3n derékszögű koordináta közül csupán 3nr független, azaz a rendszer szabadsági foka: f = 3nr . Az ilyen rendszer helyzetét f számú, egymástól független   adat egyértelműen meghatározza.

A másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletekben a derékszögű koordináták helyett olyan, a rendszer f szabadsági fokával megegyező számú ún. általános koordinátát ( , …,  ) vezetnek be, amelyek használatakor a kényszerfeltételek már eleve teljesülnek (pl. az egységnyi sugarú gömbfelületen mozgó pont esetében választható általános koordináták a ϕ és ϑ polárkoordináták). A rendszer

 ,…, , ,…, 

Lagrange-függvényét felírva  ,…,  az ún. általános sebességek (az általános koordinátáknak a t idő szerinti differenciálhányadosai), a Hamilton-elvből levezethető

 

másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletekből meghatározható   (ahol i = 1, …,f) függvények lesznek a mozgásprobléma megoldásai.

A másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek a mechanika számára az alkalmazások szempontjából az egyik legjobban használható módszert adják, elsősorban akkor, ha a kényszerfeltételek igen összetettek (bár csak véges szabadságfokú mechanikai rendszerek esetén érvényesek).

A másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek a mechanikán kívül a fizika más fejezeteiben (elektrodinamika, kvantummechanika, térelméletek) is alkalmasak az alapegyenletek megfogalmazására, amennyiben az ott jellemző Lagrange-függvény alakja megadható.

ForrásokSzerkesztés

  • Természettudományi lexikon III. (Gy–K). Főszerk. Erdey-Grúz Tibor. Budapest: Akadémiai. 1966. 645–646. o.
  • Természettudományi lexikon IV. (L–N). Főszerk. Erdey-Grúz Tibor. Budapest: Akadémiai. 1967. 9–10. o.
  • Nyugat-magyarországi Egyetem Kinetika (jegyzet)