Középpontos négyzetszámok
A számelméletben középpontos négyzetszám minden olyan szám, amely egy középső pont körül négyzet alakú rétegekben elrendezett pontok számát adja.
Az első négy középpontos négyzetszám előállítását mutatja a következő ábra:
Viszony más nevezetes számokkal
szerkesztésAz n. középpontos négyzetszám az alábbi képlettel adódik.
Más szóval minden középpontos négyzetszám két egymást követő négyzetszám összege. Ezt szemlélteti az alábbi minta:
|
|
| ||||
Ez a képlet megfogalmazható a következőképpen is:
ezt illusztrálja az alábbi:
|
|
| ||||
Mint minden középpontos sokszögszám, a középpontos négyzetszámok is kifejezhetőek háromszögszámok függvényeként:
ahol Tn az n. háromszögszám:
Ez utóbbi tény egyszerűen belátható, elegendő kivenni a középső pontot, majd a maradék ábrát felosztani négy háromszögre az alábbiak szerint:
|
|
| ||||
Tulajdonságok
szerkesztésAz első néhány középpontos négyzetszám a következő:
- 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, … (A001844 sorozat az OEIS-ben)
Minden középpontos négyzetszám páratlan.
Minden középpontos négyzetszám és azok minden osztója néggyel osztva egyet ad maradékul.
Az 1 kivételével minden középpontos négyzetszám pitagoraszi számhármas legnagyobb tagja. Például: (3; 4; 5), (5; 12; 13)
Középpontos négyzetprímek
szerkesztésA középpontos négyzetprímek olyan középpontos négyzetszámok, amelyek prímszámok. Az első néhány középpontos négyzetprím a következő:
Hivatkozások
szerkesztés- U. Alfred, "n and n + 1 consecutive integers with equal sums of squares", Math. Mag., 35 (1962): 155 - 164.
- T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, (1976): 3.
- A. H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers. New York: Dover (1964): 125
- Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 41-42, 1996. ISBN 0-387-97993-X