Kiváló erősen összetett számok

A számelméletben a kiváló erősen összetett számok (superior highly composite number, SHCN) olyan pozitív egész számok, melyeknek a náluk kisebb számoknál több osztójuk van, egy bizonyos módon skálázva a számokat. Ez erősebb megkötés, mint az erősen összetett számoké, mely csak azt követeli meg, hogy több osztójuk legyen, mint bármely náluk kisebb számnak.

A d(n) osztószámfüggvény grafikonja n = 250-ig

Az első 10 kiváló erősen összetett szám és prímtényezős felbontásuk:

# prím-
tényezők
SHCN
n
prím-
felbontás
prím-
kitevők
# osztók
d(n)
primoriális
felbontás
1 2 2 1 2 2 2
2 6 2 ⋅ 3 1,1 22 4 6
3 12 22 ⋅ 3 2,1 3×2 6 2 ⋅ 6
4 60 22 ⋅ 3 ⋅ 5 2,1,1 3×22 12 2 ⋅ 30
5 120 23 ⋅ 3 ⋅ 5 3,1,1 4×22 16 22 ⋅ 30
6 360 23 ⋅ 32 ⋅ 5 3,2,1 4×3×2 24 2 ⋅ 6 ⋅ 30
7 2520 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 3,2,1,1 4×3×22 48 2 ⋅ 6 ⋅ 210
8 5040 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 4,2,1,1 5×3×22 60 22 ⋅ 6 ⋅ 210
9 55440 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 4,2,1,1,1 5×3×23 120 22 ⋅ 6 ⋅ 2310
10 720720 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 4,2,1,1,1,1 5×3×24 240 22 ⋅ 6 ⋅ 30030

Formális definíció szerint: n pozitív egész akkor kiválóan erősen összetett szám, ha létezik olyan pozitív ε valós szám, amire minden k természetes számra

,

ahol d(n) az osztószám-függvény, ami n osztóinak számát jelöli. A kifejezést Rámánudzsan használta először 1915-ben.

Az első 15 kiváló erősen összetett szám – 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (A002201 sorozat az OEIS-ben) – megegyezik az első 15 kolosszálisan bővelkedő számmal, melyek hasonló feltételnek tesznek eleget, de az osztóösszeg-függvény alapján.

JegyzetekSzerkesztés

  • (1915) „Highly composite numbers”. Proc. London Math. Soc. (2) 14, 347-409. o. DOI:10.1112/plms/s2_14.1.347.   Reprinted in Collected Papers (Ed. G. H. Hardy et al.), New York: Chelsea, pp. 78–129, 1962
  • Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag, 45–46. o. (2006). ISBN 1-4020-4215-9 

További információkSzerkesztés