Primoriális

A számelmélet területén a primoriális (primorial) olyan természetes számokon értelmezett függvény, ami nagyon hasonlóan működik a faktoriálishoz, de ahelyett, hogy a pozitív egész számokat szorozná össze sorban, csak a prímszámokon fut végig.

p_n# n függvényében, logaritmikus skálán

n# n függvényében (piros pöttyök), n!-hoz hasonlítva, logaritmikus skálán

A primoriálisnak két, egymásnak ellentmondó definíciója létezik:

• az első a függvény argumentumát a prímszámok sorozatának indexeként értelmezi (így a függvény szigorúan monoton növekvő),
• a második az argumentumot az összeszorzandó prímszámok felső határaként értelmezi (tehát bármely n összetett számhoz tartozó függvényérték ugyanakkora, mint az n−1-hez tartozó).

A Harvey Dubnernek tulajdonított primoriális elnevezés a prímszámokra utal, hasonlóan ahhoz, ahogy a faktoriális a faktorokra.

Definíció prímszámokra

Ha az n-edik prímszámot p_n-nel jelöljük, akkor a p_n# primoriálist az első n prímszám szorzataként határozzuk meg:

$p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}$

ahol p_k a k-adik prímszám.

Például p₅# az első 5 prímszám szorzatát jelzi:

$p_{5}\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310$.

Az első hat p_n# primoriális:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (A002110 sorozat az OEIS-ben).

A sorozat tartalmazza üres szorzatként a p₀# = 1 értéket is.

Aszimptotikusan a p_n# primoriálisok a

$p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n}$ képlet szerint nőnek,

ahol $o(\cdot )$ a kis ordó jelölés.

Definíció természetes számokra

Általánosságban, pozitív n egészekre is definiálható az n# primoriális, méghozzá az n-nél nem nagyobb prímek produktumaként:

$n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#$

ahol $\pi (n)$ a prímszámláló függvény (A000720 sorozat az OEIS-ben), ami az n-nél nem nagyobb prímek számát adja meg.

Ami ekvivalens a következővel:

$n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{ha }}n>1\ \And \ n{\text{ prímszám}}\\(n-1)\#&{\text{ha }}n>1\ \And \ n{\text{ összetett szám}}.\end{cases}}$

Például a 12# a 12-nél nem nagyobb prímszámok szorzatát jelképezi:

$12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.$

Mivel $\scriptstyle \pi (12)=5$, ez a következőképp is számítható:

$12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.$

Tekintsük az első 12 n# primoriálist:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vegyük észre, hogy összetett n-ekre az n# egyszerűen megismétli a megelőző értéket (n − 1)#, a definíció szerint. A fenti példában 12# = p₅# = 11#, mivel 12 összetett szám.

Az első Csebisev-függvény – $\theta (n)$ vagy $\vartheta (n)$, ami az n# természetes alapú logaritmusát határozza meg, nagy n értékekre a lineáris n függvényt közelíti.

Tehát:

$\ln(n\#)\sim n.$

Az elgondolás, hogy minden ismert prímszámot egymással össze kell szorozni felmerül a prímszámok végtelenségére vonatkozó több bizonyításban is, ahol ennek segítségével látják be egy másik prímszám szükségképpeni létezését.

Alkalmazásai és tulajdonságai

A primoriálisok fontos szerepet töltenek be az egymástól ugyanakkora távolságra lévő prímszámok keresésében. Például a 2236133941 + 23# egy olyan prímszámot ad, ami egy 13, egymástól 23#-ra lévő prímszámból áll és 5136341251-ra végződik. A 15 és 16 tagú számtani prímsorozatok között is gyakran 23# a differencia.

Minden erősen összetett szám primoriálisok szorzatával áll elő (pl. 360 = 2·6·30).

A primoriálisok négyzetmentesek, mindegyikük több egyedi prímtényezővel rendelkezik a nála kisebb számoknál. Minden n primoriálisra a $\phi (n)/n$ tört kisebb, mint bármely nála kisebb egész esetében, ahol $\phi$ az Euler-függvényt jelenti.

Bármely teljesen multiplikatív függvényt meghatároznak a primoriálisoknál felvett értékei, hiszen a prímeken felvett értékei meghatározzák a függvényt, ami pedig a szomszédos primoriálisok értékeinek elosztásával megkapható.

A primoriális szám-alapú számrendszerek (nem összetévesztendő a primoriális számrendszerrel jellemzője, hogy az ismétlődő szakaszos törtek ritkábban fordulnak elő, mint az alacsonyabb alapszámú számrendszerekben.

Minden primoriális ritkán tóciens szám.

Minden primoriális praktikus szám.

Megjelenése

A Riemann-féle zéta-függvény 1-nél nagyobb pozitív egésze kifejezhető a primoriálisok és a $J_{k}(n)$ Jordan-függvény segítségével:

$\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots$

Primoriálisok táblázata

n	n#	pn	pn#
0	1	nem prím	1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
18	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
20	9699690	71	557940830126698960967415390

Kapcsolódó szócikkek

• Bonse-egyenlőtlenség
• Primoriálisprím
• Faktoriális számrendszer

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Primorial című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

• (1987) „Factorial and primorial primes”. J. Recr. Math. 19, 197–203. o.